Замена производных разностными отношениями

В рассмотренных выше примерах мы строили разностные схемы, заменяя производные в дифференциальных уравнениях на разностные отношения. Это общий подход, который позволяет конструировать разностные схемы любого порядка аппроксимации для дифференциальных задач с достаточно гладким решением и (х). Действительно, мож;

d^ku

но заменить производную —_г таким разностным выражени;

dx^k

ем, что ошибка, возникающая при такой замене, будет иметь любой заданный порядок р относительно h для достаточно гладкой функции и (х). Рассмотрим процедуру построения разностных отношений, основанную на методе неопределенных коэффициентов. Общая формула для аппроксимации производных в некоторой точке х" имеет следующий вид:

где коэффициенты a_s (s = -m, -m + 1,…, /) подбираются таким образом, чтобы добиться требуемого порядка аппроксимации. Пределы суммирования, m и /, подчиняются условию m +к + р — Из формулы Тейлора следует, что.

Подставим это разложение вместо u (x_n+sh) в выражении (7.10) и получим.

Приравнивая коэффициенты при h s = —k, -k + 1, …, p — 1 в левой и правой частях этого выражения, мы придем к следующей системе уравнений для a_s:

Если m + l = k + p — 1, то мы имеем систему из k + р линейных уравнений для k + р неизвестных a_s. Определитель матрицы коэффициентов этой системы есть определитель Вандермонда, который не равен нулю. Таким образом, в этом случае существует единственный набор коэффициентов a_s, удовлетворяющий системе (7.11). Если т + l> k + р, то решение системы (7.11) не единственно.

Теперь рассмотрим примеры разностных выражений, которые часто используются на практике. Существует единственное выражение вида.

аппроксимирующее — с первым порядком по 1 г. Система ах

(7.11) в этом случае имеет простой вид.

с решением а₍₎ = -1, а, = 1. Следовательно, мы получаем.

и это соотношение часто называют «разностью вперед».

Аналогично можно показать, что существует единственное выражение вида.

du.

аппроксимирующее — с первым порядком по п, г. е.

dx

Это соотношение часто называют «разностью назад».

du

Если мы хотим аппроксимировать — со вторым порядочком по h, тогда мы имеем т +1 = 2 и выражение (7.10) принимает вид.

Система уравнений (7.11) в этом случае записывается как.

Решая эту систему, получим, что а _л = -½, я₀ = ^{а =} = ½, и, следовательно,

Это соотношение часто называют «центральной разностью».

Рассмотрим теперь аппроксимацию производной —т;

ах

с порядком h². В данном случае k = 2, р = 2 и при условии т + 1 = 3 выражение вида.

является единственным выражением с необходимым нам свойством. Решая соответствующую систему (7.11) для коэффициентов я_ 1,…, а₂, мы найдем, что а^ = а = 1, а₀ = -2, $ 2 ⁼ 0, и, окончательно, мы приходим к следующему разностному отношению.