Основные соотношения кинематических функций

Так как скорость, путь и ускорение являются производными друг от друга, для определения зависимости этих кинематических величин от времени достаточно знать одну из этих трех функций. В примере (см. справку 1) было показано, как по известной функции скорости от времени — V=f (t) найти зависимости (функции) а = /(?) и 5 = /(?).

Определение всех кинематических функций по одной из них производится через следующие дифференциально-интегральные соотношения, вытекающие из сказанного выше.

откуда

Из интегральных соотношений следует, что при V = const и а = const путь S = Vt и скорость V = at. Таким образом, уравнения (1.5) используются только в случаях, когда исходная кинематическая величина является переменной.

Если в выражение для ускорения подставитьскорость в виде показанной выше производной dS/dt, то получим , откуда путь выражается через двойной интеграл.

Пример. Ускорение тела постоянно и равно 2 м/с², найти скорость и величину пройденного пути через 10 с.

Решение. В данном случае заданная кинематическая функция движения записывается так: а = const = 2 м/с².

Скорость . При t= 10 с имеем V = 20 м/с.

Путь При t = 10 с имеем S = 100 м.

Можно сразу найти путь по формуле (1.6), выполнив двойное интегрирование поэтапно, как показано в примере.

Справка 2.

В приведенном примере пределы интегрирования (в данном случае — начало и конец отсчета времени равны 0 и 10 с) заданы, поэтому интеграл от кинематической функции называется определенным.

Если пределы интегрирования неизвестны, берется так называемый неопределенный интеграл и тогда к конечному выражению прибавляется некоторая постоянная величина С. В этом случае получаем наиболее общее выражение.