Оценивание параметров моделей бинарного выбора

Для оценки параметров моделей бинарного выбора используется ММП. Функция правдоподобия в этом случае имеет следующий вид:

а логарифмическая функция правдоподобия —.

Необходимые условия экстремума первого порядка:

Для логит-модели эта система уравнений может быть сведена к следующему виду (см. задание 11.2):

Эта система уравнений в общем случае решается с помощью численных методов.

Матрица Гессе для логит-модели является отрицательно определенной¹, поэтому найденное решение является максимумом.

Для пробит-модели систему уравнений (11.3) также необходимо решать численно, матрица Гессе и в этом случае является отрицательно определенной^[1], т. е. найденное решение — максимум.

Оценка моделей бинарного выбора включена в основные статистические пакеты.

Интерпретация результатов оценивания логити пробит-моделей. Предельные эффекты

Отметим, что интерпретация результатов оценки параметров моделей бинарного выбора отличается от линейного случая. Остановимся на этом подробнее.

Как обычно при использовании метода максимального правдоподобия, дисперсии оценок параметров являются соответствующими диагональными элементами матрицы I *(0) (напомним, что 0 — набор оцениваемых па;

раметров; 1(0) = -Е

д²(,

0050'.

информационная матрица; ? — функция.

д²?

5050'.

правдоподобия;

— матрица Гессе).

Учитывая, что© ~ JV (0; I ‘(б))" для моделей бинарного выбора проверка гипотезы #₀: Р_; = 0 при альтернативной гипотезе Я: (3_; ^ 0 осуществляется с помощью тестовой статистики г = т~-. Если z > г_а/2, где, а — выбранный уровень значимости, то гипотеза Я₀ отвергается, соответствующий коэффициент является значимым. Однако интерпретировать можно лишь знак оценки коэффициента (если р_; > 0, то при увеличении Х_} вероятность того, что У= 1, увеличивается, а если Р_; < 0, то уменьшается), а не его абсолютное значение.

Поскольку функция F (z) является нелинейной, то для интерпретации влияния каждого фактора рассчитываются предельные эффекты (частные производные):

Отметим, что соответствующие предельные эффекты зависят от точки, в которой они рассчитываются. Очень часто в качестве такой точки выбирается (X_v

Однако если переменная X. является не непрерывной, а фиктивной, то формула (11.5) для вычисления предельных эффектов не годится. Для фиктивной переменной Х_} = D предельные эффекты рассчитываются по формулам.

Для моделей бинарного выбора, как и для линейных, могут быть проверены гипотезы об ограничениях на коэффициенты. Можно использовать тест Вальда или тест отношения правдоподобия. Обычно во все статистические пакеты включена проверка гипотезы об адекватности модели Я₀: р, = … = Р_Л, = 0.

• [1] См. работу [21, р. 692].