Выбор модели. 
Эконометрика

При анализе панельных данных необходимо выбрать, какая из моделей панельных данных (объединенная модель, модель с фиксированными эффектами или модель со случайными эффектами) больше всего подходит для определенной ситуации. Объединенная модель предполагает, что у единиц совокупности отсутствуют индивидуальные различия. Модель с фиксированными эффектами предполагает, что каждая единица совокупности имеет свои специфические индивидуальные характеристики, которые для каждого конкретного объекта являются постоянными во времени. Если же единицы совокупности различаются по своим индивидуальным характеристикам, но эти различия носят случайный характер, то в этом случае лучше рассматривать модель со случайными эффектами.

Важной особенностью модели со случайными эффектами является то, что ошибки ui должны не коррелировать с объясняющими переменными. Однако это условие достаточно часто не выполняется, даже в тех случаях, когда осуществляется выборка из большой исходной совокупности. Иногда в качестве основного различия между моделью со случайными эффектами и моделью с фиксированными эффектами рассматривают именно присутствие или отсутствие корреляция между индивидуальными эффектами и объясняющими переменными.

Качество оценок ?-коэффициентов зависит от того, насколько корректно делается выбор в пользу той или иной модели. Оценки модели с фиксированными эффектами будут несмещенными и состоятельными, однако их эффективность зависит от того, присутствует ли корреляция между индивидуальными эффектами и объясняющими переменными. Если имеет место такая корреляция, то оценки фиксированных эффектов будут эффективными, в противном случае эти оценки будут неэффективными. Оценки модели со случайными эффектами будут несостоятельными в том случае, если в панельных данных присутствуют фиксированные эффекты.

Помимо содержательных выводов существует несколько формальных тестов, которые можно проводить для того, чтобы сделать выбор в пользу той или иной модели панельных данных.

Объединенная модель против модели с фиксированными эффектами

При выполнении предположения о нормальности могут использоваться обычный t-критерий и F-критерий. Так, при помощи F-критерия можно проверить, присутствуют ли вообще какие-либо индивидуальные эффекты в панельных данных. В этом случае будет тестироваться нулевая гипотеза об отсутствии индивидуальных эффектов, которая заключается в том, что все коэффициенты а,• равны между собой, против альтернативной гипотезы о наличии индивидуальных эффектов, т. е. хотя бы два любых коэффициента а; принимают разные значения:

Для проверки нулевой гипотезы будем использовать тест Чоу. В качестве модели с ограничениями будет выступать объединенная модель , а в качестве модели без ограничений — модель с фиксированными эффектами . Нулевая гипотеза проверяется с помощью.

F-критерия.

(9.66).

где SSR — сумма квадратов остатков в модели с ограничениями; SSUR — сумма квадратов остатков в модели без ограничений.

F-критерий (9.66) имеет F-распределение с (N-1) и (NT-N-К) степенями свободы. В числителе число степеней свободы составляет QV-1), а не N, так как проверка гипотезы о том, что все N коэффициентов а, равны между собой, равносильно проверке гипотезы о том, что все (N-1) разности (??+1-?i), i = l, …, ? 1, равны нулю.

В случае если вычисленное значение F-критерия окажется больше критического значения, Fфакт>Fкp, для заданного уровня значимости, то мы можем отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о присутствии индивидуальных эффектов, т. е. сделать выбор в пользу модели с фиксированными эффектами. В случае если Fфакт < FKp для заданного уровня значимости, то у нас нет оснований отвергать нулевую гипотезу об отсутствии индивидуальных эффектов и мы можем сделать выбор в пользу объединенной модели.

В нашем примере сумма квадратов остатков в объединенной модели (модель с ограничениями) SSR =1784,19 и сумма квадратов остатков в модели с фиксированными эффектами (модель без ограничений) SSUR =75,4. По формуле (9.66) вычислим F-критерий.

Критическое значение F-статистики на 5%-ном уровне значимости составляет FKp (869, 1736) = 1,1005. Так как Fфакт > FKp, то у нас есть основания для того, чтобы отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о том, что коэффициенты а,• не равны между собой и в модели присутствуют индивидуальные эффекты. По результатам проведенного теста мы выбираем модель с фиксированными эффектами.

Помимо рассмотренного выше теста Чоу возможны также другие способы для того, чтобы осуществить выбор между объединенной моделью и моделью с фиксированными эффектами. Например, можно также проверить гипотезу о том, что значения индивидуальных характеристик совпадают у двух разных индивидов:

Для проверки этой нулевой гипотезы необходимо вычислить (-критерий.

(9.67).

который будет иметь t-распределение с (NT-N-к) степенями свободы.

В случае если вычисленное значение (-критерия окажется больше критического значения для заданного уровня значимости, то мы можем отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о том, что два разных индивида имеют различные индивидуальные характеристики. В случае если для заданного уровня значимости, то у нас нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве индивидуальных характеристик у двух разных индивидов.