Основные способы формирования выборочной совокупности

В каждом конкретном случае в зависимости от целого ряда условий, а именно: сущности исследуемого явления, объема совокупности, вариации и распределения наблюдаемых признаков, материальных и трудовых ресурсов — выбирают наиболее предпочтительную систему организации отбора, которая определяется видом, методом и способом отбора.

По виду отбора различают:

• • индивидуальный отбор, при котором в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности;
• • групповой отбор, при котором в выборочную совокупность отбираются группы единиц;
• • комбинированный отбор, предполагающий сочетание группового и индивидуального отбора.

Метод отбора определяет возможность продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора. По методу отбора различают:

• • повторный отбор, при котором вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, так как после отбора какой-то единицы она снова возвращается в совокупность и снова может быть выбранной;
• • бесповторный отбор, при котором каждая отобранная единица не возвращается обратно и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется (для оставшихся единиц она возрастает).

На практике повторный отбор осуществляется редко. Он применяется в тех случаях, когда характер исследуемого явления предполагает возможность повторной регистрации единиц. Такая возможность прежде всего может иметь место в выборочных обследованиях населения в качестве покупателей, пациентов и т. д.

По степени охвата единиц совокупности различают большую и малую выборки. Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Способ отбора определяет конкретный механизм или процедуру выборки единиц из генеральной совокупности. В практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки:

• • собственно-случайная;
• • механическая;
• • типическая;
• • серийная;
• • комбинированная.

Рассмотрим далее указанные виды выборки по способу отбора.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности. Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т. п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или невключение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании торговых предприятий важно определиться, включает ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.

После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется следующим образом:

Формулы для нахождения средней ошибки выборки при собственнослучайном отборе представлены в табл. 7.5.

В формуле средней ошибки выборки для доли величина w (l-w) — дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности. Лучше брать дисперсию доли признака в генеральной совокупности — р (-р), но она неизвестна.

Таблица 7.5

Формулы средней ошибки выборки при собственно-случайном отборе.

Отметим, что приведенные формулы справедливы при достаточно большом объеме выборочной совокупности.

I _а2

Средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле и = .-. Только.

V п-

при достаточно большом объеме выборочной совокупности (и > 30) в знаменателе этой формулы можно пренебречь единицей и вместо величины (п — 1) использовать величину п, что и показано в табл. 7.5. Что касается формулы для средней ошибки при собственно-случайном бесповторном.

I (j- ДГ — yi.

отборе, то она выглядит следующим образом: р = _Л—-, но при боль;

V п А^г-1.

ших значениях N величину (JV — 1) заменяют на N и в таблице приводятся упрощенные формулы.

Покажем практическое применение рассмотренной методики на примерах.

Пример 7.2. На электроламповом заводе методом случайной бесповгорной выборки из партии в 1000 шт. было отобрано для проверки 100 ламп. Средняя продолжительность горения оказалась 1320 ч при среднем квадратическом отклонении 61,0 ч. С вероятностью 0,95 определим пределы, в которых находится средняя продолжительность горения в генеральной совокупности.

Решение

Рассчитаем сначала среднюю и предельную ошибки выборки. Средняя ошибка.

Так как при Р= 0,95 коэффициент доверия t = 1,96, то предельная ошибка равна Определим пределы генеральной средней:

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя продолжительность горения ламп в генеральной совокупности (во всей партии) находится в пределах от 1308,65 до 1331,35 ч.

Пример 7.3. Автомат фасует чай в пачки. Проведена случайная повторная выборка объемом п = 40 пачек. Результаты взвешивания приведены в табл. 7.6.

Таблица 7.6.

Результаты выборочного обследования.

Найдем доверительный интервал для среднего веса пачки чая в генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0,99.

Решение

Средний вес пачки чая в выборке.

Определим выборочную дисперсию, используя табл. 7.7.

Таблица 7.7.

Данные для расчета выборочной дисперсии.

Получаем Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что при Р = 0,99 коэффициент доверия t = 2,58):

Найдем доверительный интервал:

т.е. искомый интервал [98,51; 100,49]. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что средний вес пачки чая в генеральной совокупности находится в пределах от 98,51 до 100,49 г.

Как мы уже говорили, очень часто нас интересует, какова генеральная доля — доля объектов генеральной совокупности, обладающих определенным свойством. Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.4. Проведена 25%-ная случайная бесповторная выборка объемом п = 2000 шт. изделий. 150 из них оказались бракованными. Найдем доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для доверительной вероятности 0,997.

Решение

Определим выборочную долю:^w=^ =0,075, или 7,5%.

Учитывая, что при Р = 0,997 коэффициент доверия t = 3, вычислим предельную ошибку выборочной доли:

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 6,99 до 8,01%.

Механический отбор основан на предварительном упорядочении генеральной совокупности. Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупности в 1 млн ед. предполагается получить 5%-ную выборку, т. е. отобрать.

if 1 ^.

• 50 тыс. ед., то пропорция отбора составит —= -. Отбор
• 20 f 1000 000:50 000 J

единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Например, при пропорции 1: 50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1: 20 (5%-ная выборка) — каждая 20-я единица и т. д.

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или с его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно отбор начинать с середины первого интервала, например при 5%-ной выборке отобрать 10-ю, 30-ю, 50-ю, 70-ю и с таким же интервалом последующие единицы.

Отметим, что практически легче организовать механическую выборку, чем собственно-случайную, и при проведении выборочных обследований чаще всего пользуются этим видом выборки. Широко применяется механический отбор при контроле качества различных продуктов. Например, при контроле качества макарон механически отбирается из партии каждая 50-я единица (пачка или коробка). Аналогично производится контроль качества консервов, сигарет и т. д.

Для определения средней ошибки механической выборки используется формула средней ошибки при собственно-случайном бесповторном отборе.

В последние годы более широкое практическое применение получил типический отбор.

Типический отбор состоит в том, что все единицы совокупности предварительно распределяют на группы по какому-либо типичному признаку, после чего из каждой типической группы отбирают единицы для обследования механическим или собственно-случайным методом. При таком способе отбора гарантировано попадание в выборку представителей всех типических групп, что, безусловно, повышает ее репрезентативность. Чем однороднее состав образованных типических групп, тем лучше типическая выборка будет воспроизводить характеристики изучаемого признака в генеральной совокупности.

Выбор типических признаков производится на основе экономического анализа изучаемой совокупности. Качественно однородные группы при типической выборке могут образовываться как в результате специально проведенной типической группировки единиц генеральной совокупности, так и в результате использования уже имеющихся, в том числе и естественно сложившихся явлений.

Например, при анализе причин выполнения задания по продаже товаров вначале производят группировку магазинов по уровню выполнения задания на три типические группы: не выполнившие, выполнившие и перевыполнившие задания. При изучении же производительности труда работников розничной торговли используются имеющиеся данные о товарообороте и численности работающих по группам с однородными показателями трудоемкости реализации товаров. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрунновой дисперсии на среднюю ошибку выборки, которая в этом случае определяется только внутригрупповой вариацией.

Типическая выборка при той же ее численности точнее, чем просто случайная.

Отбор единиц в типическую выборку может быть организован либо пропорционально объему типических групп, либо пропорционально внутригрупповой дифференциации признака.

При выборке, пропорциональной объему типических групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

где Nj — число единиц в г-й типической группе генеральной совокупности; п_х — число единиц, попавших в выборку из г-й группы.

При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле.

' S '

k=i

где 5 — число типических групп; а, — среднее квадратическое отклонение признака в г-й группе.

Формулы для определения средней ошибки выборки приведены в табл. 7.8.

Таблица 7.8

Формулы средней ошибки выборки при типическом отборе.

Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.

Методы расчета ошибки типической выборки рассмотрим на следующем примере.

Пример 7.5. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города был проведен 25%-ный бесповторный типический отбор с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Результаты обследования представлены в табл. 7.9.

Результаты обследования персонала гостиниц.

С вероятностью 0,954 определим пределы средней месячной заработной платы всех сотрудников гостиниц.

Решение

В выборочной совокупности средняя месячная заработная плата сотрудников.

Для нахождения средней ошибки выборки необходимо знать среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Так как при Р = 0,954 коэффициент доверия t = 2, то предельная ошибка равна.

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно сделать вывод о том, что среди персонала гостиниц города средняя месячная заработная плата находится в следующих пределах:

Для того чтобы на основе приведенных данных сформировать выборочную совокупность с учетом не только численности выделенных групп в генеральной совокупности, но и степени вариации в них изучаемого признака, надо исходить из предположения, что групповые дисперсии в выборочной и генеральной совокупностях равны.

Воспользуемся полученными внутригрупповыми дисперсиями для проведения отбора, пропорционального дифференциации признака. Определим необходимый объем выборки по каждому типу гостиниц. Численность сотрудников в каждой выделенной группе:

Таким образом, при оптимальном размещении необходимо обследовать 6 сотрудников гостиниц 1-го типа, 69 сотрудников гостиниц 2-го типа, 144 сотрудника гостиниц 3-го типа и 221 сотрудника гостиниц 4-го типа. С учетом полученных значений рассчитаем среднюю ошибку выборки:

При Р = 0,954 предельная ошибка выборки равна 148,26 руб., т. е. немного меньше, чем при пропорциональном отборе.

В торговле довольно широко применяется так называемая серийная (гнездовая) выборка. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, бригады п другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.

Серии состоят из единиц, связанных между собой различным образом:

• • территориально (районы, поселки и т. п.);
• • организационно (предприятия, цеха, бригады);
• • во времени (совокупность единиц продукции, выработанной в определенный промежуток времени).

Применение серийной выборки в торговле обусловлено тем, что многие товары для их транспортировки, хранения и продажи упаковываются в коробки, ящики, пачки. Поэтому при контроле качества поступившего в упаковке товара рациональнее проверить несколько отдельных упаковок (серий), чем из всех упаковок отобрать необходимое количество единиц товара.

Серийная выборка обеспечивает экономию в расходах и в тех случаях, когда обследования распространяются на обширную территорию и гнездами являются территориальные единицы.

По сравнению с типической выборкой серийная выборка дает более высокую ошибку репрезентативности. Это обусловлено тем, что при серийной выборке, как правило, обследуется сравнительно небольшое число серий. Для уменьшения возможной ошибки серийной выборки на практике приходится увеличивать объем обследуемых серий.

Однако серийный отбор значительно проще в организационном отношении и дешевле, чем другие способы.

Обозначим число серий в генеральной совокупности R, а г — число отобранных серий.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по формулам, представленным в табл. 7.10.

Таблица 7.10

Формулы средней ошибки выборки при серийном отборе.

Если число серий в генеральной совокупности велико, то вместо (R — 1) можно использовать величину R. Тогда формулы для бесповторного отбора примут вид.

В знаменателе первой дроби величина г берется лишь при большом объеме выборки, если же число отобранных серий невелико, то вместо г должна быть величина (г — 1).

Отметим, что при серийной выборке повторный отбор практически неприменим, поэтому используются формулы ошибок для бесповторного отбора.

Межсерийную дисперсию вычисляют следующим образом:

где Xj — среднее значение признака в i-й серии; х=——общая средняя.

. г

по всей выборочной совокупности.

При нахождении межсерийной дисперсии для доли необходимо учесть, что среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих этим признаком. Соответственно, оно будет равно Ш> в выборке и.

Wj в каждой отобранной серии. В таком случае межсерийную дисперсию вычисляют следующим образом:

где w = ——. г

Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.6. При контрольной проверке качества импортируемых кондитерских изделий было проведено 10%-ное выборочное обследование. Из партии, содержащей 500 ящиков, в выборку было взято 50 ящиков для сбора данных о вариации их веса. Результаты проверки представлены в табл. 7.11.

Таблица 7.11

Результаты обследования качества импортируемых кондитерских изделий.

Требуется определить пределы контролируемого параметра во всей партии с вероятностью 0,954.

Решение

Рассчитаем общую среднюю по всей выборочной совокупности:

Межсерийная дисперсия равна.

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки:

Следовательно, вес коробки в партии будет с вероятностью 0,954 находиться в пределах.

Рассмотренные способы выборочных исследований на практике обычно применяются не в «чистом» виде, а комбинируются в различных сочетаниях и с различной последовательностью. Это вызвано тем, что отбор единиц из генеральной совокупности для их обследования представляет порой сложный процесс, который затрагивает различные стороны образования выборки и в каждом конкретном случае может быть осуществлен по различным схемам. Комбинированная выборка основана на сочетании нескольких способов выборки.

При рассмотренных способах формирования выборочной совокупности отбор единиц для наблюдения осуществлялся уже на первом этапе. Такой отбор называется одноступенчатым. Однако на практике часто используется многоступенчатый отбор. Многоступенчатая выборка есть образование внутри генеральной совокупности вначале крупных групп единиц, из которых производят отбор. Затем из них отбираются группы, меньшие по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы или отдельные единицы, которые необходимо исследовать.

Еще раз отметим, что все вышеприведенные формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (п < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок При расчете ошибок малой выборки необходимо учесть два момента:

1) формула средней ошибки имеет вид р = _Л ——;

V п-

2) при оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. При определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы^{распределения} (распределения Стыодента).

При проектировании выборочного наблюдения одним из наиболее сложных является вопрос о необходимой численности выборки. При любом способе отбора предельная ошибка выборки обратно пропорциональна числу обследованных единиц. Чтобы уменьшить ошибку выборки, надо увеличить ее объем, но это повлечет за собой увеличение затрат на проведение обследования. Численность выборочной совокупности может быть определена на базе допустимой ошибки исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки (табл. 7.12).

Таблица 7.12

Формулы необходимого объема выборки для различных способов отбора.

В соответствии с принятыми обозначениями:/? — доля единиц, обладающих изучаемым признаком, в генеральной совокупности; w — доля единиц, обладающих изучаемым признаком, в выборочной совокупности. Соответственно, р ( 1 —р) и w ( 1 —w) — дисперсии доли, основанные на данных генеральной и выборочной совокупности. Величины р,(1 -/?,), да,-(1-да,) — средние из внутригрупповых дисперсий доли.

Значения величин /?,(1 -/?,), 8,² и 8² устанавливаются так же, как и дисперсия при собственно-случайном отборе. Если их оценка основана на данных пробных выборок, то в соответствующих формулах, приведенных в табл. 7.12, вместо генеральных характеристик необходимо использовать выборочные.

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример 7.7. Для изучения структуры и стоимости покупок в универмаге из 10 000 покупателей следует отобрать бесповторным случайным образом определенное число человек, которое бы обеспечивало с вероятностью 0,95 определение общей стоимости покупок с предельной ошибкой, не превышающей 2 руб. Дисперсию, но предыдущему исследованию следует принять 620.

Решение

Рассчитаем необходимый объем выборки:

Пример 7.8. На заводе 2500 станков, в том числе токарных — 990, фрезерных — 740, шлифовальных — 500, прочих — 270. С целью исследования производительности станков планируется организовать типическую пропорциональную выборку станков с механическим отбором внутри групп. По результатам аналогичного обследования на другом подобном предприятии среднее квадратическое отклонение составило 60. Сколько станков необходимо отобрать из каждой группы, чтобы ошибка выборки не превышала 20 ед. при вероятности 0,997?

Решение

Рассчитаем общую численность типической выборки:

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

990−79.

токарных станков — и, =-= 31 шт.;

• 1 2500
• 740−79

фрезерных станков — п-, =-= 23 шт.;

^{vv 2} 2500.

500−79.

шлифовальных станков — п-, =-= 16 шт.;

• 3 2500
• 270−79 _

прочих — п_А =-= 9 шт.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности составляет 31 токарный станок, 23 фрезерных станка, 16 шлифовальных станков и 9 прочих.

Пример 7.9. На склад предприятия поступило 1000 ящиков готовых изделий по 100 шт. в каждом. Для установления среднего веса деталей необходимо провести серийную выборку методом механического отбора гак, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 3 г. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна 6. Определим необходимый объем выборки.

Решение

Необходимый объем выборки рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

В статистических исследованиях с помощью формулы предельной ошибки можно решать ряд задач:

• 1) определять возможные пределы нахождения характеристики генеральной совокупности на основе данных выборки;
• 2) определять доверительную вероятность, которая означает, что характеристика генеральной совокупности отличается от выборочной па заданную величину. Доверительная вероятность является функцией от t, где

t-—, и определяется по специальной таблице.

В.