Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил

Общие понятия о статически неопределимых системах

В предыдущих главах рассматривались методы расчета статически определимых систем, в которых опорные реакции и все внутренние силовые факторы определялись с помощью только уравнений равновесия. На практике встречаются системы, расчет которых нельзя осуществить с помощью одних уравнений статики. Приходится составлять дополнительные уравнения, учитывающие некоторые особенности деформации системы.

Проведем анализ изгиба балки на трех опорах, расположенных в точках a, b и с (рис. 6.1). Первая опора в точке а шарнирно-неподвижная, а две другие опоры в точках b и с шарнирно-подвижные. Число опорных реакций, возникающих от произвольной нагрузки, равно четырем, а число независимых уравнений статики, которые можно составить для данной системы, равно трем. Таким образом, число неизвестных превышает число уравнений статики.

Такие системы, в которых число неизвестных превышает число независимых уравнений статики, называются статически неопределимыми. Поясним вначале понятие «независимые уравнения статики». Из теоретической механики известно, что для системы, находящейся в равновесии, сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. Если для данной системы выбрать п точек (k_b k_2yk_n)

Рис. 6.1.

и для каждой из них составить уравнение моментов = О, i = 1,2,п_} то получим п уравнений, из которых только три будут независимыми, а все остальные будут являться какой-либо комбинацией этих трех уравнений (например, сумма двух уравнений совпадает с одним из основных уравнений).

Рис. 6.2.

В рассматриваемом примере (см. рис. 6.1) число неизвестных реакций (//, А, В и С) на единицу превышает число уравнений статики, поэтому система называется однажды статически неопределимой. Наряду с такими системами имеются дважды, трижды и п раз статически неопределимые системы. Число п называется степенью статической неопределимости системы.

Отбросим в рассматриваемой балке одну из опор (например, среднюю), а ее реакцию заменим пока неизвестной некоторой силой X (рис. 6.2). Превратив реакцию во внешнюю силу X, вместо двухпролетной балки получим простую (однопролетную) балку. Сила оказалась как бы лишней по отношению к числу возможных уравнений статики; ее принято называть лишним неизвестным. В общем случае число лишних неизвестных совпадает со степенью статической неопределимости.

Так как в заданной системе прогиб балки над средней опорой равен нулю, то сумма перемещений этой точки от сил Р и от силы X будет равна нулю, поэтому условием для определения величины силы будет служить уравнение.

Предположим, что X = 1, тогда перемещение по направлению единичной силы в соответствии с обозначениями, принятыми в гл. 5, будет 5_VV, а перемещение от силы X будет отличаться от 5_VV во столько раз, во сколько X отличается от единицы, поэтому А_хх = д_ххХ. Подставляя это значение в уравнение (6.1), получим.

Определив перемещения 8_ХХ и А_хР по формуле Мора (5.23), найдем из равенства (6.2) значение лишнего неизвестного.

Теперь задача решается просто. Необходимо вместо средней опоры приложить найденную силу X и рассматривать ее как внешнюю нагрузку. Вместе с заданной нагрузкой получится система внешних сил, действующих на простую балку. Расчет на действие полученной внешней нагрузки затруднений не вызывает.