Дифференциальные уравнения гидродинамики и теплообмена для физической модели

Запишем все величины, входящие в дифференциальные уравнения физической модели со штрихами в отличии от промышленного аппарата (без штриха) [2].

Полагая, что интенсивность источника тепла qrq’rO, получим систему дифференциальных уравнений теплообмена для физической модели, состоящей из уравнения неразрывности (4.5) для установившегося движения (^ = 0), уравнения гидродинамики (Навье-Стокса) для сжимаемой.

dt

жидкости (4.6) и уравнений теплового баланса (4.7) — (4.8) для проекций на ось ОХ':

-уравнение неразрывности для установившегося движения (— =0) ;

dt

-уравнение гидродинамики для сжимаемой жидкости ;

Подобные уравнения можно составить и для проекций на оси OY' и.

ОГ.

К этим уравнениям добавим уравнения теплового баланса. Поступающее в рассматриваемый единичный объем тепло при установившемся состоянии равно такому же количеству отходящего тепла. К данному объему (так же как в уравнении Навье-Стокса для сжимаемой жидкости) тепло подводится вследствие теплопроводности и с помощью материальных частиц, протекающих через единичный объем при одновременном его охлаждении. Если температура Г этого объема не изменяется со временем, то общее количество подведенного тепла должно равняться нулю, и если учесть наличие источника тепла с интенсивностью q, (ккал/м³), то придём к следующему уравнению:

где С- теплоемкость, р' - плотность, X — теплопроводность.

В левой части уравнения представлено количество тепла в единичном объеме, которое используется для нагревания на dT' потока частиц, протекающих через параллелепипед с ребрами dx, dy, dz.

Это тепло покрывается за счет подвода тепла из окружающей среды (первый член правой части уравнения) и за счет источника тепла q_it который в нашем случае равен нулю. Разделив обе части уравнения на Ср, получим:

где а — коэффициент температуропроводности (а = Х/Ср)•.

Уравнения (4.5)-(4.8) образуют систему дифференциальных уравнений с частными производными и совместно с граничными условиями полностью описывают процесс движения вязкой жидкости.

Вблизи стенки трубы поток является ламинарным, следовательно, передача тепла происходит в результате теплопроводности, и по известному уравнению Фурье имеем:

где df — поверхность теплообмена; п' - нормаль к dr; (2И1 — температурный градиент жидкости у стенки трубопровода для физической модели; _q' — удельный тепловой поток (поверхностная плотность потока).

Следует учитывать граничные условия, как например, распределение скорости и температуры у входа потока в поперечном сечении трубопровода.

Количество передаваемого тепла О выражают обычно с помощью коэффициента теплоотдачи, а (ккал/лР ч град). Пользуются формулой Ньютона:

где Тр — температура стенки; 7J — температура жидкости.

Несмотря на то, что коэффициент теплоотдачи, а не входит в дифференциальные уравнения (4.5)—(4.8), он все же является важным параметром в тепловых расчетах и постоянно применяется в практике. Приравняв правые части уравнениний Ньютона и Фурье, получим:

Таким образом, коэффициент теплоотдачи:

Эта зависимость коэффициента теплоотдачи а вводится в систему дифференциальных уравнений для конвективной теплопередачи.

(дТ'

Так как температурный градиент —- в формуле (4.9) зависит от.

<�М)f.

температур стенки и жидкости и от толщины пограничного слоя, т. е. от характера (режима) движения, то, следовательно, коэффициент теплоотдачи а, зависит от всех тех величин, которые содержатся в уравнениях (4.4) -(4.9).

В уравнения (4.4) — (4.9) мы можем, согласно соотношениям (4.2) — (4.4), подставить х' = A_tx, со' = А^со, р' = А_рр, где величины без штриха относятся к промышленному аппарату. Таким образом, из уравнения (4.5) получаем:

Из уравнения (4.6) получаем:

Аналогичные уравнения получаются и для направлений OY и OZ.

Из уравнения (4.8) имеем:

Уравнение (4.9) даёт:

Будем считать подобными только такие процессы, для которых масштабные значения А₁, А_а, А_р и т. д. таковы, что множители, стоящие перед скобками в уравнениях (4.10) — (4.13), одинаковы, т. е.

Следовательно, если численные значения масштабных множителей А, А_а, А_р удовлетворяют уравнениям (4.14) — (4.16), то в уравнениях (4.10) — (4.13) масштабные множители могут быть сокращены и для физической модели остается система дифференциальных уравнений, которые полностью идентичны уравнениям для промышленного аппарата.

Следовательно, интегралы дифференциальных уравнений для аппарата и модели также будут идентичны. Это означает, что распространение скоростных и температурных полей на модели и промышленные аппараты осуществляется одинаково.

Отсюда следует вывод, что подобными процессами теплообмена в установившемся состоянии при отсутствии источников тепла являются только такие, у которых масштабные множители удовлетворяют уравнениям (4.14) — (4.16).

Теперь представим уравнения (4.14) — (4.16) в более удобной форме — в виде уравнений в критериях подобия.