Шкалы в теории измерений

Важным этапом построения математической модели изучаемого объекта является формализация сведений, описывающих признаки данного объекта, которые могут быть разнородными с точки зрения формы их представления. Например, знания экспертов чаще всего не могут быть выражены в точной числовой форме, которая удобна для проведения дальнейшего математического анализа, а представимы лишь в виде качественных характеристик или логических заключений. Тем не менее, благодаря использованию рассуждений, изложенных на качественном уровне, многие факторы неопределенности, возникающие в процессе принятия управленческих решений в организации, могут быть формализованы и корректно учтены.

Для адекватной оценки разнородных признаков объектов (непрерывных, дискретных, качественных или количественных) в математической теории измерений разработаны различные типы шкал измерений.

Определение В теории измерений под шкалой понимается гомоморфизм / эмпирической системы отношений М в символьную систему Н. Таким образом, шкала представляет собой правило, определяемое тройкой <�М, Н, />. Модели, образы реальной системы в символике формальной системы носят наименование «шкальных значений». Процедура сравнения объектов по выбранным признакам носит название измерения, или измерения в заданной шкале^[1].

Еще одно распространенное определение состоит в том, что шкала — это множество чисел или символов, с помощью которого можно измерить определенную характеристику, свойство предмета или явления.

Выделяют шкалы следующих типов^[2].

1. Номинальная шкала {шкала наименований). Она позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между объектами. Номинальная шкала основана на отношении эквивалентности и используется для отнесения исследуемого объекта к некоторому классу. Для нее арифметические действия не определены. Идентифицировать отношения «больше», «лучше», «более предпочтительно» или «менее предпочтительно» и т. п. не представляется возможным.

Примеры: названия стран и регионов, их телефонные коды и почтовые индексы, адреса строительных объектов, наименования инвестиционных проектов или вкладов паевого инвестиционного фонда. Естественно, что невозможно вычислить разность между названиями вкладов «Летний» и «Молодежный», а также произвести их упорядочивание, например, по степени привлекательности для вкладчика.

2. Порядковая или ранговая шкала. Она достаточно часто используются в прикладных задачах, так как позволяет не только разбивать объекты на классы, но и упорядочивать их в соответствии со степенью увеличения или уменьшения некоторого свойства объекта. Для порядковой шкалы допустимо любое монотонное преобразование, арифметические действия в ее рамках смысла не имеют.

Примеры: разного рода рейтинги (университетов мира, надежности финансовых корпораций или стран и т. д.), шкалы отметок уровня знаний в системе образования, шкалы оценки качества товаров, выраженные на естественном языке. Например, применительно к характеристикам инвестиционно-строительных проектов, при использовании порядковой шкалы перспективные объекты строительства могут быть упорядочены в соответствии с предполагаемой сложностью строительства: «низкая», «средняя», «выше средней», «высокая», «очень высокая». При этом указать степень превосходства одного объекта над другим невозможно.

3. Шкала интервалов. Данная шкала позволяет не только классифицировать и упорядочивать объекты, но и количественно оценивать различие между их характеристиками. Для проведения таких сравнений вводятся понятия «масштаб» — а и «точка отсчета» — Ь. Допустимым в данной шкале является линейное преобразование: /(х) = ах + Ь.

Примеры: шкалы измерения времени с использованием разных масштабов (секунда, минута, час и т. д.) и несовпадающими точками отсчета, температурные шкалы (по Цельсию и Фаренгейту: Т = 9/5°С + 32).

4. Шкала отношений. Она представляет собой частный случай шкалы интервалов, для которой введен некоторый масштаб (а > 0), и точка отсчета равна 0. Данная шкала позволяет ответить на вопрос: во сколько раз один объект превосходит другой по выбранной характеристике.

Примеры: шкалы, с помощью которых измеряется расстояние (в дюймах, метрах, милях), масса (в граммах, фунтах), температура (шкалы Цельсия и Реомюра: °Яе = °С-4/5), стоимость (в различных валютах).

5. Абсолютная шкала. Она определяется взаимнооднозначным соответствием: /(х) = х и представляет собой ряд натуральных чисел. Данная шкала используется для измерения количества объектов.

Обратите внимание!

Чем уже множество допустимых преобразований, тем более совершенной считается шкала, имея в виду степень информативности, детальности об измеряемом свойстве объекта. Показатели, имеющие шкалу не менее совершенную, чем шкала интервалов, называются количественными и допускают алгебраические действия.

Если аналитика интересует выбор объекта с наибольшим значением определенной характеристики и неважно, чему оно будет равно, то можно воспользоваться порядковой шкалой. В случае, если существует потребность выбрать объект со значением характеристики, наиболее близким к некоторой заданной величине, данную характеристику необходимо рассматривать как количественную, измеренную в шкале интервалов.

Примеры использования шкал Используя терминологию и проблематику инвестиционно-строительных проектов (ИСП), можно привести следующие примеры использования шкал различного типа: номинальная шкала применяется для присвоения имен ИСП, порядковая шкала — например, для выявления наиболее привлекательного для покупателей места строительства, шкала отношений — при оценке требуемых инвестиций для реализации проекта, измеренных в российских рублях или иной валюте в зависимости от стратегии привлечения финансовых ресурсов и конъюнктуры на рынке недвижимости.

Характеристики шкал различного типа.

• [1] Писарева О. М. Методы социально-экономического прогнозирования: учебник / ГУУ.М.: НФНК, 2003.
• [2] Более подробно о понятии шкалы в теории измерений см.: Писарева О. М. Методы социально-экономического прогнозирования: учебник / ГУУ. М.: НФПК, 2003; Петровский А. Б. Теория принятия решений: учебник для студентов вузов. М.: Академия, 2009. С. 400.