Статистические гипотезы в мультивариативном корреляционном/регрессионном анализе

Оценка статистической надежности коэффициента детерминации R2 предполагает проверку нулевой гипотезы о его равенстве нулевому значению. Общая стратегия применяемого здесь статистического анализа не отличается принципиально от того, что нам уже известно.

Все дисперсия зависимой переменной У может быть разложена на две аддитивные части: 1) часть, которая определяется эффектами всех независимых переменных, и 2) часть, которая оказывается независимой от них, — эта часть, как мы знаем, называется остаточной дисперсией. Схема оценки этих частей дисперсии принципиально не отличается от той, которая была рассмотрена в гл. 7, посвященной бивариативной корреляции (в табл. 7.4 отражены конкретные детали такого анализа).

Главное отличие дисперсионного анализа, касающегося оценки мультивариативных корреляционных планов, заключается в оценке степеней свободы статистики F. Если в случае одной независимой переменной у нас в числителе оказывается одна степень свободы, то при использовании k независимых переменных число степеней свободы для числителя увеличивается до значения k. Таким образом, средний квадрат для регрессии может быть оценен следующим образом:

Аналогичным образом число степеней свободы для остаточной дисперсии в случае k независимых переменных должно быть скорректировано. На этот раз их число уменьшается на число независимых переменных. Остаточный средний квадрат может быть оценен следующим образом:

Следовательно, оцениваемая F-статистика будет иметь следующий вид:

В случае если теоретическое значение коэффициента детерминации R2 оказывается равным нулю, т. е. 2 = 0, данная F-статистика оказывается распределенной в соответствии с законом F-распределения с k степенями свободы в числителе и п — k — 1 степенями свободы в знаменателе.

На практике, однако, статистической оценки коэффициента детерминации, как правило, оказывается недостаточно. Исследователя обычно больше интересует не общий процент дисперсии зависимой переменной, который объясняет используемая каузальная модель, а статистический вклад каждой из независимых переменных в дисперсию зависимой переменной. В этом случае речь уже идет о статистической надежности коэффициентов регрессии и связанных с ними частных коэффициентов корреляции. В качестве нулевой гипотезы при этом выдвигается гипотеза о равенстве этих коэффициентов нулевому значению. Понятно, что если какой-либо из этих коэффициентов, например значение корреляции части, оказывается нулевым, остальные частные коэффициенты также принимают нулевое значение. Поэтому на практике нет нужды проверять сразу несколько гипотез, касающихся этих параметров связи. Достаточно проверить лишь одну гипотезу. Статистические программы, как правило, дают оценку стандартизированному коэффициенту регрессии, вычисляя для пего t-статистику с и — k — 1 степенями свободы. В «ручных» вычислениях проще воспользоваться следующей формулой, также рассчитывающей t-статистику:

Если предполагается нулевое значения корреляции части, эта статистика оказывается распределенной в соответствии с t-распределением Стьюдента с п — k — 1 степенями свободы. Если значение вычисленной таким способом ?-статистики надежно отличается от нулевого, гипотеза о нулевом значении частных коэффициентов отвергается и делается вывод о статистически надежном вкладе исследуемой независимой переменной.

В работе И. Е Высокова [ 21 исследовались возможные предикторы времени реакции испытуемого в задачах семантического решения.

Испытуемому предъявлялись пары слов. Первое слово в паре было одним из примеров разного уровня типичности одной из десяти общих семантических категорий, таких как, например, мебель, овощ, одежда, фрукт. Всего было использовано по девять слов каждой категории. Второе слово либо обозначало саму категорию, к которой могло относиться слово, либо представляло собой обозначение соответствующего категории тематического контекста, как, например, комната, обед, гардероб, сад. Таким образом, было составлено два списка по 180 пар слов. Один список строился по тематическому принципу, второй — по категориальному. Каждое слово в паре предъявлялось дважды: один раз вместе с соответствующей категорией или тематическим контекстом, второй раз — с несоответствующей категорией или контекстом. Порядок предъявления пар слов был случайным.