Множество действительных чисел

Из способов введения множества R действительных чисел мы рассмотрим два: индуктивный (индуктивно-аксиоматический), когда множество R строится путем последовательных расширений множества N натуральных чисел, и аксиоматический, когда структура множества R описывается аксиомами, на базе которых строится теория множества R.

Индуктивный способ введения множества R

Построение множества R действительных чисел первым из указанных выше способов представляет собою цепь последовательных расширений понятия числа: {0} => /V => Z => Q => AR => R => … .С этой цепью при определении множества N натуральных чисел согласуется выбор числа 0 наименьшим в N числом, так что

Операции сложения и умножения натуральных чисел замкнуты в N.

Множество Z=MJ {а,.: я, =— (1 + /), / е Д^г} целых чисел получается непосредственным расширением множества N до коммутативного кольца Z с единицей, когда уравнение а + хЬ разрешимо во множестве Z. Множество Z целых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Но уравнение с? x = d разрешимо во множестве Z только тогда, когда d кратное. Требование разрешимости уравнения а-х = Ь при удовле творяется расширением кольца Z до поля Q рациональных чисел (о множестве Q см. п. 3.4 и п. 4.3).

Уравнение х" =Ь разрешимо во множестве Q рациональных чисел только тогда, когда в Q За: а" = /;. Следующий шаг расширения множества действительных чисел связан с введением множества AR алгебраических действительных чисел: ARz^Q,

Множество AIr=ARQ, называемое множеством иррациональных алгебраических чисел, имеет очень сложную алгебраическую структуру. Существуют элементы … во множестве Air, которые линейно независимы над полем Q рациональных чисел, что означает =0 лишь.

при V/ а, =0(см. Определение 4.9). Поэтому V^=AIr U {б} является ли;

нейным пространством (бесконечномерным). Число ноль поля О играет роль и ноль-вектора линейного пространства V_x.

Для каждого иррационального алгебраического числа ^ eAIr подмножество Q₀={o? q: q eQ} является изоморфным полю Q одномерным подпространством пространства V_Л.

Последний шаг расширения множества чисел поможет нам выбрать следующее утверждение.

Утверждение 5.0. Множество AR' = {х: х eAR, х>0} замкнуто относительно операции возведения в рациональную положительную степень а = 2; p, q &N, q Ф 0, т. е. с^а е AR*, если се AR'.

• • Если 0+, то ГсО =с^р eQ Поэтому 3P_q (х) P_q^с * j = 0,
• ?

т. е. с⁴ е AR, и так как с>0,то се AR .

Пусть 0<�сеА1г, т. е. ЗР_к(х): Р_к© = 0, тогда с^к gQ' . Пусть, далее,.

— л {(*yY.

с^ч =Ь, тогда Ь^кч = с'' =(с^р)^к =(с^к)^р е (7, так как с^к eQ⁺ и peN.

' J.

Следовательно, для n-k q ЗР_п(х): P"{b) = 0. Это, по определению,.

Р

означает, что b е AR*, b > 0. Очевидно, что 0‘' = 0 е AR* .?

Числа, не являющиеся алгебраическими, были названы в 1844 году Жозефом Лиувиллем (24.03.1809—08.09.1882) трансцендентными (см. [94, р. 1, 2], [78, с. 311−326]); их существование он доказал в 1851 году. Мы множество таких чисел обозначим символом 77?. Построено много классов трансцендентных чисел, несмотря на негативность характеристического свойства трансцендентного числа: «…не является корнем никакого алгебраического уравнения с коэффициентами из Z». Например, А. О. Гельфонд (24.10.1906;07.11.1968) доказал в 1934 году, что числа вида а^ь, где a eAR и b eAIr, не являются алгебраическими.

В 1873 году французский математик Шарль Эрмит (24.12.1822- 14.01.1901) доказал трансцендентность числа е. В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (21.04.1852−06.03.1939) доказал трансцендентность числа к. Этот результат дал отрицательное решение гипотезы древних греков «О квадратуре круга»: трансцендентность числа^{доказывает} невозможность построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу. Подробное изложение теории трансцендентных чисел и ее истории по состоянию на конец XX века можно найти в книге [94] А. Вэкера (Alane Baker).

Последнее расширение множества чисел называется трансцендентным, т. е. неалгебраическим, в отличие от всех предыдущих алгебраических. Итак, мы имеем цепь расширений множества чисел:

Замечание 5.1. Голландский математик Ян Брауэр (27.02.1881- 02.12.1966) как-то заметил, что «…Бог создал число ноль, остальное — творение рук человеческих». Некоторые авторы приписывают эту фразу Леопольду Кронекеру (1823−1891).

Замечание 5.2. Ir=AIrJ TR.

Замечание 5.3. Множество R = Quh полно относительно операции возведения в степень: для а> 0 и b eR а¹' =с eR (ср. [28, с. 605]).

Замечание 5.4. Цепь (*) не обрывается па R: R=>C=> где С = {z = а + ib: a, b е R, г = -1} - множество комплексных чисел.

Очевидно, что расширение R=>C является алгебраическим: в поле С комплексных чисел разрешимо уравнение z² +1 = 0, т. е. z = ±i, и, более того, справедлива доказанная в 1799 году Карлом Гауссом (30.04.1777- 23.02.1855) формулируемая ниже теорема.

Основная теорема алгебры. В поле С комплексных чисел алгебраическое уравнение степени п имеет хотя бы один корень (и следовательно, ровно п корней).

Множество AR, как всюду плотное множество (см. п. 6 Главы 3), непрерывно в каждой своей точке. Однако разбиение множества AR на верхний В и нижний А классы, при котором AJB=AR, А П В = 0, /(a, b) e Ах В а<�Ь, не является дедекиндовым сечением, если эго разбиение образуется посредством числа с € TR, например, если с = р и /(а, б) е Ах В, а <�п<�Ь.

Завершением этого способа построения множества R действительных чисел будет приводимое ниже без доказательства утверждение.

Теорема непрерывности множества R. Построенное выше множество R непрерывно в каждой своей точке, т. е. всякое разбиение R на верхний и нижний классы является дедекиндовым сечением (см. Определение 3.17).