Амплитудно-частотная характеристика системы и парциальные частоты

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы представляет собой изменение амплитуды гармоники при прохождении через систему, т. е. это характеристика зависимости амплитуды колебаний на выходе воспроизводимого гармонического сигнала. Это понятие широко используется в радиотехнике, электроакустике и музыкальной акустике для анализа воспроизведения звука и в других областях. Амплитудно-частотная характеристика может быть представлена графиком как функция А (0) зависимости амплитуды от частоты.

В качестве примера построим график амплитудно-частотной характеристики одной из масс системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием гармоники F (t) = /'sin Qt. Рассмотрим установившийся стационарный процесс. Выпишем из параграфа 2.6 уравнения (2.19) для определения инерционных сил:

Заменим инерционные силы их значениями:

Так как при стационарном процессе все величины изменяются пропорционально заданной нагрузке, то sin 0/ опустим. В итоге получим.

Теперь решим эту систему уравнений относительно амплитуды А_{. Решение имеет вид.

Аналогичное выражение можно получить для амплитуды А₂. Из выражения (2.21) очевидно, что при некотором значении 0, когда 8₂₂ш₂0² = 1, масса ш, не будет колебаться. Этот режим соответствует антирезонансу по направлению колебания массы т_л. Возможность возникновения антирезонанса используется при проектировании динамических гасителей колебаний (см. параграф 8.5).

При проектировании динамических гасителей колебаний определенную роль играет парциальная частота. Она определяется как для системы с одной степенью свободы:

Понятие о парциальных частотах в парциальных системах позволяет сформулировать некоторые качественные выводы о влиянии параметров системы па ее собственные частоты. Один из выводов представлен ниже для системы с двумя степенями свободы [3]:

где равенство достигается в случае отсутствия связанности между парциальными системами. В связанной системе одна из собственных частот системы всегда меньше, а вторая — больше, чем любая из парциальных частот.

Пример 2.8. Приложим к балке на рис. 2.3 но направлению перемещения массы /и, гармоническую силу F (t) = 4sin0t и построим амплитудно-частотную характеристику по формуле (2.21) для амплитуды А_{. Исходные данные: т_{ = т₂ = 0,5 т; б_п = 0,089 м/кН; 6₁₂= -0,067 м/кН; 6₂₂⁼ 0,111 м/кН.

Решение

Вычисляем: Д_1/г= б,/⁷ = 0,089−4 = 0,356 м; A_2F= 6₂₁F = -0,067 -4 = -0,268 м. Подставим эти значения в формулу (2.21) и построим график (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Амплитудно-частотная характеристика А_{

Для определения связанности системы подставим частоты в формулу (2.22): 3,45 max{4,74; 4,24}.

Условия соответствуют весьма связанной системе.

Рис. 2.22. Схема системы для упражнения 2.4.

Упражнение 2.4. Постройте амплитудно-частотную характеристику для массы т₂ системы, представленной на рис. 2.22, и установите связность системы.