Апериодическое (инерционное, статическое) звено

Типовое дифференциальное уравнение взаимосвязи выходного и входного сигналов апериодического ТДЗ имеет вид.

где Т₀ — постоянная времени; к — коэффициент передачи.

Дифференциальное уравнение является неудобной формой математической модели звена или объекта, так как решение большинства дифференциальных уравнений — это сложная вычислительная процедура. Более удобна математическая модель объекта, записанная в виде передаточной функции.

Передаточной функцией называется преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, т. е. уравнение, записанное в виде отношения преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов звена (объекта).

В преобразовании по Лапласу исходное дифференциальное уравнение называется оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме уравнение — его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене функций вещественных переменных — х_сых(т) и х_|1Х(т) на функции комплексных переменных — х"_ых(/>) и х_ш(р), где р — оператор Лапласа (комплексное число р = ±m ± in). Эти функции связаны между собой интегралом Лапласа:

Для большинства дифференциальных уравнений, используемых в ТДЗ, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будут следующие замены:

Таким образом легко можно получить из оригинала изображение, т. е. операторную форму записи дифференциального уравнения апериодического ТДЗ.

Дифференциальное уравнение апериодического звена — оригинал имеет вид.

а операторная форма записи — изображение этого уравнения.

Огромное преимущество такого преобразования заключается в том, что записанное в операторной форме исходное дифференциальное уравнение становится алгебраическим.

Если бы все дифференциальные уравнения можно было преобразовать по Лапласу, это была бы революция в развитии математики, так как решать алгебраические уравнения значительно проще. К сожалению, это возможно только для небольшого их числа, например для дифференциальных уравнений ТДЗ.

Поскольку уравнение изображения апериодического звена алгебраическое, его можно преобразовать следующим образом:

Из этого выражения легко получить отношение х_ьых(р)/х_м(р), которое называется передаточной функцией и для апериодического звена имеет вид.

Каждое типовое динамическое звено имеет ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ); фазочастотную (ФЧХ); амплитудно-фазовую частотную АФЧХ (или АФХ); логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ); логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ).

На практике чаще используют амплитудно-фазовую частотную характеристику (или АФХ).

АФХ является вектором, а график АФХ — годографом этого вектора, т. е. кривой на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора при изменении частоты со от 0 до да. Изображение вектора на комплексной плоскости показано на рис. 9.4. Вектор характеризуют две величины: направление (градиент) и длина (скаляр, или вектор по модулю).

Рис. 9.4. Изображение вектора на комплексной плоскости.

Вектор аналитически можно записать в виде двух проекций на действительную и мнимую оси, и выразить эти проекции через угол а:

или, используя формулу Эйлера:

где | W| — вектор по модулю, или длина вектора; е = 2,71 — основание натуральных логарифмов; / — мнимое число, / = 7-Т, /² = — 1, /³ =+1.

Аналитическое выражение вектора АФХ любого ТДЗ легко получить через передаточную функцию, заменив в ней оператор Лапласа р на выражение /со, где со — частота колебаний, со = 2л/Г; Т — период колебаний.

Для апериодического звена АФХ имеет вид.

Чтобы записать вектор АФХ в виде суммы проекций на действительную и мнимую оси, необходимо провести следующие преобразования:

Изменяя частоту со от 0 до со, можно построить на комплексной плоскости график вектора АФХ — его годограф (рис. 9.5), представляющий собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой равен коэффициенту к.

На рис. 9.6 приведена типовая кривая разгона апериодического звена, которая называется экспонентой. Любая экспонента обладает одним замечательным свойством: если к любой ее точке провести касательную, а затем точку касания и точку пересечения касательной с асимптотой, к которой с течением времени приближается экспонента, спроецировать на ось времени, то получится один и тот же отрезок на оси времени. Эта проекция, называемая постоянной времени, соответствует коэффициенту Г₀в передаточной функции и АФХ апериодического звена, а ордината.

Рис. 9.5. АФХ апериодического ТДЗ.

Рис. 9.6. Входной сигнал и типовая кривая разгона апериодического звена.

асимптоты, к которой стремится экспонента, — коэффициенту к в его передаточной функции. Таким образом по кривой разгона легко найти коэффициенты к и Т₀ в передаточной функции апериодического звена.

Примером реализации апериодического звена является электродвигатель небольшой мощности, который после включения в электросеть (подачи единичного скачка) набирает обороты по экспоненте.

Также примером реализации апериодического звена может быть установка, изображенная на рис. 9.7.

В бак поступает поток воды с расходом 0,; из бака вытекает свободно поток воды с расходом 0₂. Регулируемый параметр х_шх — это уровень И воды в баке.

При подаче единичного скачка 0, уровень Н в баке повышается; при этом увеличивается гидростатическое давление и возрастает 0₂. Затем уровень воды Н стабилизируется (т.е. экспонента приближается к асимптоте). Эта способность самостоятельно вос;

Рис. 9.7. Пример реализации апериодического звена станавливать равновесие, присущая объектам, аппроксимируемым апериодическим ТДЗ, за счет притока или стока энергии или вещества называется самовыравниванием. Количественно самовыравнивание определяется коэффициентом р, равным обратному значению коэффициента к в передаточной функции звена, т. е. Р = 1/Лг.

В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.