Определение предела. 
Информационные технологии в юридической деятельности

Пусть некоторое явление описывается функцией у =/(х) с областью определения X. Предположим, что область определения не ограничена справа, случай «а».

Определение 10.10. Число b называется пределом функции у =/(х) при х —? °°, если для любого сколь угодно малого положительного числа г существует такое число N (зависящее от г), что для всехх, удовлетворяющих условию х > N, выполняется неравенство: |/(х) — Ь< г.

Это можно записать в символической записи: Пт /(х) = Ь.

Д-—"оо Произносят это так: при х, стремящемся к бесконечности,/(х) стремится к Ь.

Пример

_тт «_v 2х+ 1.

Пусть дана дрооно-линеиная функция у =-. Рассуждая на интуитивном.

х — 3.

уровне, можно сказать, что при неограниченном возрастании аргументах (х —? °°) значение функции у =/(х) неограниченно приближается к числу 2 (у -*• 2). Теперь,.

2х 1.

обратившись к определению, мы запишем: lim —-= 2. Покажем, как в этом.

X * ос X ~ 3.

примере по заданному? найти необходимое N. Так как /(.г) — 2 = ——- - 2 =.

х — 3 7.

=-, то условие |/(х) — 21 < е выполняется для всех х, удовлетворяющих нс;

х- 3.

равенству: -< е.

х — 3.

Решение этого неравенства имеет вид

Если в качестве N принять выражение, стоящее в правой части последнего неравенства, то, поскольку все три неравенства равносильны, требование, содержащееся в определение предела, будет выполнено.

Геометрическая интерпретация этого результата выражается в том, что при х — °° гипербола, служащая графиком функции, асимптотически приближается к горизонтальной прямой у = 2.

Определение 10.11. Число b называется пределом функции у = /(х) при х —*• х₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа г существует такое положительное число 5 (зависящее от г), что для всех х (х ^ х₀), удовлетворяющих условию |х — х₀| < 8, выполняется неравенство:

1/(х) ~Ь

В символической записи: Нш /(х) = Ь.

•'—?‘о Произносят это так: при х, стремящемся к х₀, /(х) стремится к Ь. Суть данного определения в том, что в нем заключена идея близости функции f (x) к своему предельному значению х₀. Переменная величина близка к своему пределу, т. е. к некоторому постоянному числу, если мала их разность (но модулю), в этом случае мало расстояние между соответствующими точками па числовой прямой.

На рис. 10.12 дана геометрическая интерпретация определения предела в точке х₀: для всех точек х € (х₀ — 8, х₀ + 8) точки графика функции у =/(х) лежат внутри полосы, ограниченной прямыми у = Ьеиу = Ь + г.

Рис. 10.12. Определение предела.

Замечание. Если /(х) —* b при х —* х₀ и при этом х < х₀, то говорят, что Дх) стремится к b слева, и пишем Нш /(х) = Аналогично определяется предел д—л_о-0.

справа: Нш /(х) = Ь.

Д—Д'о+О.

10.3.2. Бесконечно малые величины. Связь переменной величины с ее пределом. Свойства бесконечно малых Выделим несколько классов переменных величин.

Определение 10.12. Функция у =/(х) называется бесконечно малой при х —? х₀, если она имеет предел, равный нулю: lim /(х) = 0. (Если не указано, как изменяется х, принципиально возможен процесс любого типа.).

Разумеется, в конкретных задачах необходимо указывать, для каких аргументов функции предел равен нулю. Например, функция у = (х - I)² — бесконечно малая при х, стремящемся к единице, в других случаях она таковой не является. Следует иметь в виду, что наименование «бесконечно малая» не выражает размера (это не одна десятитысячная и даже не одна миллионная), а отражает лишь характер ее изменения как переменной в данном процессе.

Приведем примеры бесконечно малых функций: у = —, при х —⁵— °°; у =

х¹

= е^х — 1, прих—? 0.

Определение 10.13. Переменная величина называется бесконечно большой, если в процессе изменения ее модуль становится (и остается таковым) больше любого сколь угодно большого положительного числа М: |/(х)| > М.

Примеры.

1. у = -, прих~* 2.

х- 2

• 2. у = е^х — 1, при х —* °°.
• 3. у = ——-, при х —* 2.

х — 4.

Переменная величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, а переменная величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой. Бесконечно большие величины не имеют предела. Это записывают в виде: lim/(х) = оо.

Определение 10.14. Функция называется ограниченной, если начиная с некоторого момента ее значения (по модулю) остаются меньше некоторого положительного числа М: |/(х)| < М.

Все функции, имеющие предел, и в частности, бесконечно малые, являются ограниченными, между тем как бесконечно большие — неограниченные.

Примеры.

• 1. Функция у = sinx — ограничена.
• 2. Функция у = xsinx, при х —*? °° — неограниченная величина, но не бесконечно большая.

Свойства бесконечно малых. Важную роль бесконечно малых в теории пределов выражает следующая теорема.

Теорема 10.1. Всякая функция, имеющая предел, представима в виде суммы постоянной и бесконечно малой.

Доказательство. Пусть функция у = /(х) имеет предел Ь. По определению предела, модуль разности функции и ее предела может быть сделан меньше любого сколь угодно малого положительного г. Обозначим эту разность ф (х): Ф (х) = /(х) — b, есть бесконечно малая и /(х) = b + <�р (х).

Теорема 10.2. Если функцию у =/(х) можно представить в виде суммы постоянной величины b и бесконечно малой величины (р (х), lim/(х) = Ь. Перечислим другие свойства бесконечно малых.

• 1. Сумма, разность, произведение двух бесконечных малых являются бесконечно малыми.
• 2. Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая.
• 3. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть бесконечно малая.
• 4. Произведение величины, имеющей предел, на величину бесконечно малую, есть величина бесконечно малая.