Осевая симметрия. 
Геометрия: планиметрические задачи на построение

Определение 4.7. Симметрией относительно прямой d называется преобразование плоскости, в котором соответственные точки М и М' удовлетворяют следующим условиям: ММ' 1 d, ММ₀ — М₀М', где М₀ — точка пересечения прямых ММ' и d. Прямая d называется осью симметрии.

Осевая симметрия с осью d обозначается так: S_d.

Укажем некоторые свойства осевой симметрии.

• 1. Любая точка оси неподвижна. Вне оси симметрии неподвижных точек нет.
• 2. Ось симметрии — неподвижная прямая. Неподвижными являются также прямые, перпендикулярные оси. Других неподвижных прямых нет.
• 3. Симметричные относительно оси d прямые I и V параллельны оси симметрии либо пересекаются на оси, при этом Zdl = -Zdl'.
• 4. Осевая симметрия имеет два неизменных направления (направление прямой I называется неизменным, если прямая I и ее образ Т параллельны). В осевой симметрии неизменными являются направление оси и направление перпендикуляра к ней.
• 5. осевая симметрия — перемещение II рода.

Приведем в качестве примера одну несложную задачу на построение, решаемую методом осевой симметрии.

Задача 4.1. Даны три прямые а, Ь, с. На прямой а дана точка А. Построить на прямой Ъ точку В, симметричную точке А относительно прямой с.

Решение

Пусть даны три прямые а, Ь, с (рис. 4.3), А е а, с — ось симметрии.

Пусть В е Ъ — искомая точка, тогда S_C(A) = В. Так как, А е а, то В е а', где а' = S_C(A). Отсюда следует, что В есть точка пересечения прямых а' и Ь.

Следовательно, для построения искомой точки В достаточно построить прямую а', симметричную прямой а относительно прямой с.

Рис. 4.3.

При решении этой задачи основную роль играет следующее свойство осевой симметрии: если точка принадлежит прямой, то ее образ принадлежит соответствующей прямой.