Основы расчета упругих систем

Начало возможных перемещений

В основе расчета упругих систем лежит начало возможных перемещений. Сформулируем этот известный в механике принцип: чтобы система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ внешних и внутренних сил была равна нулю на любых возможных перемещениях.

Возможными называют перемещения, независящие от приложенных нагрузок и согласованные с внешними связями. Действительные перемещения системы всегда являются возможными. Запишем в общем виде выражения для работ внешних В^/ВНСШ и внутренних 1У^внутр сил. В последующем изложении будем использовать обобщенные обозначения сил и перемещений, введенные в начале гл. 11: F — любой силовой фактор (сосредоточенная сила, пара сил, распределенная нагрузка); Д — перемещение, на котором сила совершает работу.

Работа внешних сил.

Рассмотрим растяжение стержня (рис. 21.1, а). Под действием силы Г стержень растянулся. Точка приложения силы переместилась на величину Д. Диаграмма деформирования стержня показана на рис. 21.1,6. В общем случае нагружения диаграмма деформирования необязательно линейная. Рассмотрим малое приращение (вариацию) перемещения 6Д. Приращение работы (вариация работы), вызванное этим перемещением точки приложения силы, 6У^^исш = FbA.

Рис. 21.1. К определению работы одной внешней силы.

Согласно принципу независимости действия сил, справедливому при малых перемещениях твердых тел, в случае действия системы из п сил приращение работы внешних сил 6И^/В,|еш = FfiA_{ + + F₂6Д₃ +… + F_n6Д" или в матричном виде.

В случае упругой деформации знак вариации в выражении (21.1) можно опустить, диаграмма деформирования линейная и работа внешних сил равна площади треугольника (диаграммы) (рис. 21.1, в). При действии одной силы ]У^внеш = FA • Для системы из п сил.