Напряженное и деформированное состояние в точке

В результате освоения данной главы студент должен: знать

• • принципы определения линейного, плоского и объемного напряженного состояния в точке;
• • сущность существующих теорий прочности.

Напряженное состояние растянутых и сжатых стержней

Чтобы иметь полное представление о прочности материала, необходимо знать действующие напряжения не только в плоскости поперечного сечения, но и по любому наклонному сечению.

Рассмотрим одно их таких сечений (рис. 6.1, а). Рассматривая равновесие части стержня по одну сторону от сечения m — k, установим, что усилие N в этом сечении равно F и направлено по оси стержня. Поэтому полное напряжение в точках сечения m — k равно.

где А_п — площадь сечения m — k стержня.

Рис. 6.1.

Разложим полное напряжение на нормальное и касательное напряжения (рис. 6.1, 6). Тогда с учетом (6.1) получим.

или Как отмечено в подпараграфе 4.2.2 (см. рис. 4.10, а), осевое растяжение (сжатие) является линейным напряженным состоянием и главные площадки в любой точке стержня перпендикулярны его оси. Следовательно, выражение (6.2) можно переписать в виде.

Воспользуемся формулами (6.3) для определения напряжений на площадке с нормалью щ, перпендикулярной к сечению т — k (рис. 6.1, в). Нормаль п_л образует с направлением о_х угол р = -(0,5л — 0).

Заменив в формулах (6.3) угол 0 на р, получим.

Так как поперечное сечение является проекцией сечения на плоскость, нормальную к оси стержня, то А =А_п cos0 и, следовательно,.

или Отметим некоторые свойства линейного напряженного состояния, вытекающие из зависимостей (6.3) и (6.4).

1. Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна главному напряжению, т. е. а_п + = g_x.

• 2. На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны, но противоположны, но знаку, т. е. х_п = -т_р (закон парности касательных напряжений).
• 3. Величина нормального напряжения а" в любом наклонном сечении (0 * 0) меньше и достигает максимума лишь в поперечных сечениях (0 = 0). Касательное напряжение наибольшее значение имеет в сечении, составляющим угол 45° с направлением оси стержня. В этом случае т_тах = 0,5а!

Оценивая напряженное состояние стержня при его осевом растяжении или сжатии, можно сделать вывод, что стержень может разрушиться либо по поперечному сечению (рис. 6.2, а) в результате действия максимальных нормальных напряжений, либо по наклонной плоскости (рис. 6.2, б) от действия наибольших касательных напряжений.

Рис. 6.2.

6.2. Плоское и объемное напряженные состояния. Обобщенный закон Гука

Рассмотрим бесконечно малый элемент с гранями ch: и dг/, выделенный из тела, находящийся в плоском напряженном состоянии (рис. 6.3, а) и имеющий вид треугольной призмы.

Рис. 6.3.

Обозначим площади граней ОЛ, ОБ и ЛВ через А_х, A_lf и Л_п соответственно. При этом А_х = Л_/гсо50, Ау = Л^этЭ.

Спроецир°^вав усилия, действующие по граням элемента на оси п и ЛВ, получим

С учетом закона парности касательных напряжений т_ху = т_ух и соотношения между площадями граней элемента, после сокращения на А_п получим.

откуда.

или после тригонометрических преобразований.

Таким образом, зная напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, по формулам (6.5) можно найти напряжения по любой наклонной площадке.

В частности, если площадка ЛВ является главной (т" = 0), можно из второго уравнения (6.5) определить ее направление:

Так как одному и тому же тангенсу соответствуют два угла, отличающиеся на л, то из уравнения (6.6) можно определить два направления главных площадок, отличающиеся на 0,5л, т. е. взаимно перпендикулярные. Третья площадка будет перпендикулярна оси 2 (см. рис. 4.9 и 4.10) и а₃ = 0.

Опустив промежуточные выкладки, приведем расчетные формулы для определения главных напряжений по этим площадкам в окончательном виде:

Если известны главные напряжения, то из выражений (6.5) можно найти:

Сложив два первых уравнения из (6.8), получим:

Следовательно, сумма нормальных напряжений по двум любым взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная, равная сумме главных напряжений.

Если в рассмотренном нами бесконечно малом элементе грани ОА и ОВ являются главными площадками (рис. 6.3, б), то выражения (6.5) примут вид где 0 — угол нормали к площадке с осью I.

При 9 = 45° касательное напряжение, но наклонной площадке достигает максимальной величины.

Иными словами, наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, расположенным под углом 45° к главным направлениям, и равны полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений.

Подставляя (6.7) в (6.11), получим выражение наибольшего касательного напряжения через исходные напряжения ст_г, ст, и т •.

Обратим внимание на следующие два частных случая плоского напряженного состояния.

1. Если a_t = а₂ = а (рис. 6.4, а), то на всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку, нормальное напряжение одинаково и равно ст, а касательное напряжение отсутствует. Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением {сжатием).

Рис. 6.4.

2. Если Ст] = с, ст₂ = 0, а ст₃ = -а (рис. 6.4, б), то при 0 = 45° нормальное напряжение в наклонной площадке оказывается равным нулю, а т = а. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

В случае объемного напряженного состояния напряжения по наклонным площадкам, не параллельным ни одному из главных напряжений ст, > > а₂ > ст₃, определяются по следующим формулам:

где 0j, 0₂ и 0₃ — углы, которые образует нормаль к рассматриваемой площадке соответственно с направлениями а_1? а₂ и а₃.

Максимальное касательное напряжение действует по площадке, параллельной главному напряжению а₂ и составляющей угол 45° с направлениями Gj и а₃, а его значение равно полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений (но аналогии с формулой (6.11)), т. е. т_тах = = 0,5(ст, — о₃).

Установим общие зависимости между напряжениями и деформациями в объемном напряженном состоянии. Рассмотрим бесконечно малый элемент, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 4.10, а), по граням которого действуют главные растягивающие напряжения о_{у а₂ иа₃.

Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим деформацию этого элемента от каждого воздействия по отдельности (рис. 6.5).

Рис. 6.5.

При действии только а_] деформации элемента в направлениях I, II и III на основании (5.7) и (5.8) будут следующие:

По аналогии, при действии а₂

и при действии а₃

Суммируя относительные удлинения в направлении I, получим.

Примечание. Число штрихов в обозначении относительного удлинения в показывает причину его возникновения (a_lf а₂ или а₃).

Определим аналогично главные удлинения е_1? е₂, е₃:

Система равенств (6.13) является математическим выражением обобщенного закона Гука. Полагая в этих равенствах равным нулю одно из главных напряжений, получим закон Гука для плоского напряженного состояния.

Аналогичный вид имеют формулы определения относительных удлинений в направлении осей х, у и z