Движение с упругим сопротивлением. 
Основы теории колебаний

Все реальные твердые тела обладают упругим сопротивлением их растяжению или сжатию. В практических случаях деформации растяжения — сжатия сплошных тел весьма малы (как правило, на несколько порядков меньше, чем размер тела). Движение точек тела при деформациях, сопоставимых с его размерами, можно рассмотреть на примере пружин с упругим сопротивлением (Q), пропорциональным их деформации (х), т. е. Q = kx, где к — постоянный коэффициент, называемый жесткостью пружины. Размерность k — [Н/м].

Представим себе пружину с грузом на ее конце (рис. 6.3). Под действием силы тяжести mg пружина получила перемещение (деформацию) х₀. Упругая сила Q уравновешивает силу mg гак, что Q — mg = 0. Если теперь убрать фуз (mg) упругая сила Q стремится восстановить первоначальное положение точек пружины (будет сжиматься до величины /).

Рис. 6.3. Колебательное движение тела на пружине.

В этом случае, согласно общему уравнению динамики.

или.

Подставив значение Q = Кх и разделив на т, получим дифференциальное уравнение движения под действием упругой восстанавливающей силы Q

Это уравнение тождественно удовлетворяется при.

В самом деле, обозначив имеем:

скорость.

ускорение

Подставив в (6.4) получаем тождество.

Таким образом, выражение (6.5) является уравнением движения (зависимость перемещения х от времени t). Так как величины sin, а и cos, а (где, а = co₀t) изменяются периодически от -1 до + 1, то и перемещение периодически изменяется во времени от максимальных до минимальных значений. Такое движение называется колебательным.

Коэффициенты С и В находятся из начальных условий движения. В нашем случае при t = 0, х = х₀ и V = 0. Используя уравнения (6.5) и подставив t = 0 и х = 0, получим.

По начальным условиям В = х₀ и х₀ < х < -х₀. Так как любая сила пропорциональна деформации, то начальная деформация пружины и окончательно.

Графическое изображение этой функции проиллюстрировано на рис. 6.3. Величинаесть собственная частота колебаний рассмотренного тела и зависит от его упругих свойств (К). Величина оо₀ — круговая частота колебаний. Периодическая частота колебаний равна 1/7', где период колебаний Т определяется из условия со₀Г = 2л, откуда

Максимальное перемещение называется амплитудой. Амплитуда Л = 2х₀.

Заметим, что в полученных уравнениях (6.4)—(6.9) сопротивление среды не учитывается. Таким образом, любое упругое тело, подвергнутое временному воздействию силы (после исчезновения этой силы), будет колебаться с некоторой присущей только этому телу собственной частотой колебаний. Отметим, что у большинства реальных тел зависимость упругой (восстанавливающей) силы Q от х нелинейна, т. е. Q = сх" , где п Ф 1. В этом случае получаем различные нелинейные дифференциальные уравнения колебаний, решаемые в большинстве случаев приближенными способами.

При колебаниях пружины с грузом уравнение (6.4) примет вид.

В этом случае к полученному решениюх, =x₀cosco, f прибавляется частное решение уравнения (6.10) — х₂. Предположив х₂ = В (ускорение равно 0), получим

окончательно для колебаний с грузом

Здесь х₀ — начальная деформация пружины. Уравнение показывает, что характер измененияамплитуды, т. е. функция х = f (t) не изменяется и частота колебаний

Рассмотрим случай, когда пружина имеет начальную скорость V₀ > 0. Например, на пружину падает груз массой т с высоты h (рис. 6.3, в). При ударе пружина получаеткинетическую энергию , сообщающую начальную скорость . В данном случае величина Е_к = Е_п = mgh, где.

Е_п — потенциальная энергия падающего груза. ТогдаИз уравнения (6.6) при t = 0 и получаем

Если х₀ = В = 0, то в рассматриваемом примере перемещение с учетом (6.5).

Отметим, что энергия может сообщаться за счет импульса внешней силы, не зависящей от массы тела (пружины). Тогда амплитуда и определяется жесткостью К. Это значит, что период колебаний Т не зависит от амплитуды А (изохронность колебаний). Физически это означает, что, например, желание толкнуть дверь с пружиной сильнее (имея в виду увеличить время для вхождения) не достигнет желаемого результата (быстрее «проскочить в дверь»), так как период колебаний останется таким же, как и при слабом толчке.