Первая книга «Начал» Евклида. 
Предложения

После изложения в аксиоматической форме основных положений математики правильных многогранников Евклид переходит к первым построениям. В предложении 1 книги 1 дано построение правильного треугольника.

Это предложение звучит следующим образом: «На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник»^[1] (рис. 3.10). Суть доказательства сводится к построению двух кругов на концах данной ограниченной прямой, после чего находится точка пересечения этих кругов, которая и является третьей вершиной равностороннего треугольника. От атомизма берутся круги, состоящие из радиусов. Поэтому стороны АС и СВ являются этими радиусами, которые конституируют правильный треугольник.

Рис. 3.10.

Пересечение двух кругов определяется уже математикой материального эфира, которая рассматривает пересечение любых линий как решение корней неопределенных уравнений. Так возникает первый объект математики правильных многогранников, ибо построение в тс времена и означало возникновение. Далее это будет называться генетическое доказательство, т. е. доказательство, иллюстрирующее порождение данного геометрического объекта.

Это следует четко отличать от номинального определения объекта, данного в первых определениях «Начал». После построения правильный треугольник существует сам по себе. До этого треугольники использовались как вспомогательное средство в доказательствах атомизма и математики материального эфира. Треугольники рассматривались как соотношение точек, поэтому следовало говорить о равенстве отрезков, составляющих треугольник. Теперь же треугольник сам стал главным героем. А из всего разнообразия треугольников именно правильные треугольники станут главными героями в конструировании правильных многогранников. Если бы все правильные многогранники состояли только из правильных треугольников, то «Начала» Евклида были бы намного короче. Как минимум четыре книги потребуются Евклиду, чтобы получить преобразования квадрата, необходимого для введения куба, и правильного пятиугольника, необходимого для построения додекаэдра.

Теперь Евклид строит менее совершенный равнобедренный треугольник. Этому посвящено предложение 5 книги 1: «У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и, но продолжении равных ирямых углы иод основанием будут равны между собой»^[2]. В этом предложении вводится существенное свойство равнобедренного треугольника.

Построение равнобедренного треугольника оказывается возможным через удлинение сторон равностороннего треугольника. Для этого используется предложение 2 книги 1: «От данной точки отложить прямую, равную данной прямой»^[3]. Предложения 3 и 4 книги 1 оказываются нужны для доказательства непосредственно предложения 5.

При построении логического каркаса «Начал» Евклид негласно делит предложения на ключевые (узловые) и вспомогательные. Вспомогательные предложения готовят «кирпичики» для полного построения ключевого предложения. Эти вспомогательные предложения входят в доказательство ключевого предложения. Таким ключевым предложением являются предложение 5 книги 1. Следующим узловым пунктом является предложение 22 книги 1: «Из трех прямых, которые равны трем данным прямым, составить треугольник».

Все предложения начиная от шестого и заканчивая двадцать первым внесены в «Начала» только ради предложения 22. Суть же самого предложения 22 заключается в возможности построения любого треугольника для математики правильных многогранников, ибо до этого математика правильных многогранников имела только равносторонние и равнобедренные треугольники. Доказательство существования этих треугольников было приведено в предложениях 1 и 5 книги 1. Сейчас настала очередь дать генетическое доказательство существования любого треугольника. Еще раз следует подчеркнуть, что треугольник использовался как вспомогательное средство на протяжении всей первой книги, но использование и доказательство существования — это принципиально разные вещи.

После доказательства предложения 22 Евклид может свободно оперировать с различными треугольниками. И теперь он ставит новую цель. Необходимо доказать, что любой параллелограмм строится из треугольника (т.е. построение любого параллелограмма заключается в преобразовании треугольника). Поэтому генетическое доказательство существования параллелограмма зависит от породившего его треугольника. Л существование этих треугольников уже выше было доказано.

Евклид приводит следующее ключевое (узловое) предложение 42: «Построить равный данному треугольнику параллелограмм в данном прямолинейном угле»^[4][5]. Все предложения начиная с двадцать третьего до сорок первого включительно являются вспомогательными для генетического доказательства предложения 42. Теперь перед Евклидом становится новая цель — построение из любого параллелограмма прямоугольника. Эта цель реализуется в предложении 44: «К данной прямой «приложить» равный данному треугольнику параллелограмм в данном прямолинейном угле"'^[2]. При этом предложение 43 подготавливает генетическое доказательство предложения 44.

Итак, сначала с помощью предложения 42 возникает возможность преобразовать любой треугольник в параллелограмм, а затем с помощью предложения 44 уже возможно встраивать полученный параллелограмм в нужный нам угол, например в прямой, и, следовательно, получать прямоугольник, который понадобится позже, во второй книге «Начал».

Окончательный смысл предложений 42 и 44 становится ясным после рассмотрения предложения 45: «Построить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм в данном прямолинейном угле»^[7]. Здесь Евклид делит любую прямолинейную фигуру на несколько треугольников. Таким образом, получается, что любая прямолинейная фигура представляется как сумма треугольников. А любой треугольник уже может быть преобразован в параллелограмм. Используя три вышеприведенных предложения, можно превращать любую прямолинейную фигуру в прямоугольники.

Евклид не останавливается на построении прямоугольника, его цель — построение квадрата. Эта цель будет осуществлена лишь во второй книге «Начал». Но для осуществления этой цели необходимо доказать одну архиважную теорему. И в конце первой книги он вводит знаменитейшую теорему Пифагора. Это предложение 47, и оно звучит следующим образом: «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен [вместе взятым] квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Предложение 47 доказывается с помощью предложения 46: «На данной прямой надстроить квадрат». Это очень характерный пример негенетического доказательства существования данной фигуры. Ибо генетическое доказательство существования квадрата будет дано только в предложении 14 книги 2: «Построить квадрат, равный данной прямолинейной фигуре»^[8]. В предложении 46 квадрат вводится вынуждено, ибо без этого невозможно будет доказательство теоремы Пифагора. Но квадрат вводится только построением, а генетическое доказательство будет осуществлено позже как преобразование прямоугольника.

Сама теорема Пифагора понадобится Евклиду позже, уже во второй книге. Там же выяснится и фундаментальное значение этой теоремы в преобразовании прямоугольника в квадрат. Не менее важна роль этой теоремы для рассмотрения соизмеримых во второй степени величин.

Книга 1 прекрасно иллюстрирует мысль о том, что «Начала» представляют собой классическую дедуктивную систему, где все предложения связаны в единую цепь. Но в этой цепи есть маленькие вспомогательные звенья, а есть основные золотые звенья. Но и без маленьких второстепенных звеньев огромная цепь разорвется.

• [1] Евклид. Начата. Книги I—VI. С. 15.
• [2] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 19.
• [3] Там же. С. 16.
• [4] Там же. С. 53.
• [5] Там же. С. 55.
• [6] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 19.
• [7] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 56.
• [8] Там же. С. 78.