Двухшаговый метод наименьших квадратов

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной формы.

Для нахождения коэффициентов сверхиндифицируемых уравнений применяется двухшаговый МНК (ДМНК).

Двухшаговый МНК состоит в следующем.

• 1. Составляют приведенную форму модели и определяют значения коэффициентов для каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК.
• 2. Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения (коэффициенты которого определяют двухшаговым МНК), и находят их расчетные значения по полученным на первом этапе соответствующим уравнениям приведенной формы модели.
• 3. С помощью обычного МНК находят коэффициенты каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, находящихся в правой части данного структурного уравнения, полученные на втором этапе.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

• 1) все уравнения системы сверхидентифицируемы;
• 2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми уравнениями и точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Пример 11.8.

Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели.

Эта модель может быть получена из идентифицируемой модели.

если наложить ограничения на ее параметры, а именно b_vl = я_п. В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым: Н = 1 (у_{), D = 1 (дг₂), т. е. Н — 1 < D. Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым: Н= 2 и D = 1, т. е. Я- 1 = D.

На первом шаге строим приведенную форму модели.

Используем те же данные, что в примере 11.7, и получим ту же систему приведенных уравнений.

На основе второго уравнения этой системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной г/₂, т. е. у₂. С этой целью в уравнение у₂ = -0,072&с, — - 0,557лг₂ + и₂ подставим значения .г, и х₂ (в примере 11.7 это отклонения от средних уровней). Оценки для эндогенной переменной у₂ приведены в табл. 11.3.

Оценки для переменных к примеру 11.8.

Таблица 113

После того как найдены оценки эндогенной переменной у₂, т. е. у_ъ обратимся к сверхидентифицируемому структурному уравнению у₂ = Ь_п(у₂ + **_t). Заменив фактические значения у₂ их оценками у₂, найдем значения новой переменной у₂ + х_t -z (см. табл. 11.3). По существу здесь используется метод инструментальных переменных^[1], в качестве инструментальных переменных используются объясненные (прогнозные) значения у_р у₂ переменных Y_{, Y₂. Далее применим МНК к уравнению У1 = b_{2z_y т. е.

откуда

Таким образом, сверхидентифицируемое структурное уравнение.

Поскольку второе уравнение системы не изменилось, его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений (см. пример 11.7), та же: у₂ = -0,085*/_t + + 0,026*2 + 82'.

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений имеет вид

Для точно идентифицируемых систем ДМНК дает тот же результат, что КМНК.

К достоинствам ДМНК можно отнести следующие.

• 1. В данном методе первый этап (построение приведенных уравнений) применяется для конкретных уравнений, не затрагивая оставшиеся уравнения модели. Это позволяет минимизировать объем вычислений.
• 2. При наличии сверхопределенных уравнений ДМНК, в отличие от MI IK, определяет единственные оценки параметров модели.
• 3. Применяя данный метод, достаточно использовать только экзогенные и предопределенные переменные модели.

Применение ДМНК будет эффективным только в том случае, когда коэффициент детерминации R² для приведенных уравнений будет достаточно высок.

Пример 11.9

По данным табл. 11.4 построим модель одновременных уравнений вида

Таблица 11.4

Исходные данные к примеру 11.9

Решение. Система линейных одновременных уравнений с двумя экзогенными и двумя эндогенными переменными будет иметь вид.

Проверим условия индефицируемости. В каждом уравнении две эндогенные переменные и одна экзогенная переменная отсутствует. Необходимое условие выполнено: Н= 2, D = 1, D = Н- 1.

Достаточное условие также выполнено — матрица при коэффициентах отсутствующих переменных состоит из одного элемента а_Л{ или а₂₂, нс равного нулю. Следовательно, и достаточное условие выполнено. Для определения коэффициентов этой системы применим КМНК. Приведенная форма модели

Решение найдем, выразив исходные переменные через отклонения от средних уровней (табл. 11.5).

Таблица 11.5

Преобразованные данные к примеру 11.9

Для нахождения коэффициентов приведенной формы напишем систему нормальных уравнений:

Используя данные табл. 11.5, получим.

Система нормальных уравнений для первого уравнения приведенной системы.

Ее решение 5_П = 0,609; б,₂ = -0,26 481.

Следовательно, первое уравнение приведенной системы есть.

Подобным образом решаем систему нормальных уравнений для коэффициентов второго уравнения приведенной системы.

Используя данные табл. 11.5, получим.

Система нормальных уравнений для второго уравнения приведенной системы.

Ее решение б₂, = 0,29; б₂₂ = 0,11 207.

Следовательно, второе уравнение приведенной системы есть.

Теперь приведенная форма модели.

Далее определяем коэффициенты структурной модели. Для первого уравнения системы имеем.

Подставляя это значение х₂ в первое приведенное уравнение, получаем первое уравнение в структурной форме: //, = -2,36 290у₂ + 0.678.V,.

Для второго уравнения системы имеем.

Подставляя это значение х, во второе приведенное уравнение, получаем второе уравнение в структурной форме: у₂ = 0,4 762//, + 0,12 468.г₂.

Окончательно получаем структурную форму исходной модели

Пример 11.10.

В табл. 11.6 приведены данные ВВП (г/,), личного потребления (у₂) и конечного спроса (х) за девять лет. Построим структурную модель вида.

Здесь у_к.__х — данные ВВП за предыдущий год. Первое уравнение системы сверхидентифицируемо, второе уравнение точно идентифицируемо. Определим коэффициенты модели.

Исходные данные к примеру 11.10.

Таблица 11.6

Решение. 1. На первом шаге строим приведенную форму модели и находим ее коэффициенты. Приведенная форма модели.

С помощью обычного МНК определим коэффициенты системы приведенных уравнений:

• 2. Для определения параметров сверхидентифицируемой модели используем ДМНК.
• 11а основе системы приведенных уравнений по точно идентифицируемому второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной у₂- Для этого в приведенное второе уравнение у₂ = 8,635 + 0,338 + 0,202//,., подставим значения х и //,. | из условия задачи. Результаты представлены в табл. 11.7.

Таблица 11.7

Расчет значений к примеру 11.10.

Далее рассчитываем новую переменную z = y₂ + x (см. табл. 11.7) и находим с помощью МНК коэффициенты первого сверхидентифицируемого уравнения У =Ь_0{+Ь_и(у₂+х):

3. Поскольку второе уравнение точно идентифицируемо, то оценка его параметров может быть дана с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

Исходя из приведенной модели, полученной на первом шаге, выразим переменную х из первого уравнения системы:

и подставим во второе уравнение.

Таким образом, определены коэффициенты структурной системы уравнений:

4. Определим коэффициенты второго структурного уравнения по ДМНК. Для этого определяем по первому уравнению приведенной системы (^[2]) теоретические значения эндогенной переменной у₂. Далее в приведенное уравнение у_{ = 8,218 + + 0,668.г + 0,261 y_t__x подставим значения х и y_t__x из условия задачи. Результаты представлены в табл. 11.8.

Расчет значений к примеру 11.10.

Таблица 11.8

Применяя МНК ко второму структурному уравнению и используя данные табл. 11.8, находим коэффициенты второго структурного уравнения: Ь₀₂ = 4,477; Ъ_п = 0,506; Ъ₂₂ = 0,0699.

Ответ. Структурная модель, полученная по исходным данным (см. табл. 11.6), имеет вид

Важной проблемой мри анализе систем одновременных уравнений является проблема идентифицируемости каждого из уравнений системы.

Для получения «правильных» оценок структурных параметров используется косвенный метод наименьших квадратов. В случае сверхидентифицируемости уравнения может использоваться двухшаговый метод наименьших квадратов.

• [1] Инструментальные переменные — это один из способов устранения коррелированное™ объясняющей переменной со случайным отклонением. Суть метода состоит в заменекоррелирующей переменной на другую — инструментальную переменную, которая обладаетследующими свойствами: она должна коррелировать (желательно) с заменяемой объясняющей переменной; она не должна коррелировать со случайным отклонением.
• [2] 1 1 Многие важные экономические процессы моделируются с помощьюсистем одновременных уравнений, особенностью которых является то, чтов одних уравнениях переменные рассматриваются как независимые (объясняющие), в других эти же переменные — как зависимые (объясняемые). Непосредственное использование МНК для оценки параметров каждогоиз уравнений, входящих в систему, дает смещенные и несостоятельныеоценки.