Методы определения количественной важности критериев

Количественная важность может выступать в двух основных формах:

• а) в степенях превосходства в важности одних критериев над другими: «критерий /С, в h раз важнее критерия К>>, где h > 0; если h < 1, то фактически критерий К в 1 /h раз важнее критерия К_{, а при h = 1 критерии равноважны;
• б) в значениях важности отдельных критериев, количественно «измеряемой» по общей для них «шкале важности»: «важность критерия K_i имеет величину Р_;», где р, > 0.

Обратите внимание!

Формами представления количественной важности критериев могут выступать степени превосходства в важности одних критериев над другими или использование коэффициентов важности каждого критерия р.

Между обоими указанными видами количественной важности имеется тесная взаимосвязь: степень превосходства h критерия K_t над критерием К- равна отношению значений их важности р, и р,.

Если изменить значения важности всех критериев в одно и то же число раз t > 0, т. е. заменить р, на t$_it то величины степеней важности не изменятся.

В том случае, когда оценки важности критериев р_у в сумме равны единице, они называются коэффициентами важности. Эти коэффициенты, обозначаемые через а_у, суть доли «единичной важности» совокупности всех критериев, приходящиеся на каждый отдельный критерий К_г

Суждение о степени превосходства в важности «критерий K_i в h раз важнее критерия Kj» будем обозначать в виде i >^hj. Количественная информация о важности, обозначаемая далее греческой буквой 0 (тэта), образуется накопленными (полученными от ЛПР и (или) экспертов) сведениями о степенях превосходства в важности одних критериев над другими^[1].

Обратите внимание!

Базовое определение количественной важности опирается не на обобщенный критерий, а на расширение исходной модели до так называемой JV-кратной модели или, сокращенно, JV-модели.

Идею базового определения и построение такой модели можно пояснить на примере особенности выбора почтовых клиентов, учитывая накопленную ранее качественную информацию о важности Cl = {1 > 2, 2 ~ 3, 3 > 4}. Вначале оценим степень превосходства в важности третьего критерия («удобство использования») над четвертым критерием («поддержка»). Предположим, что «удобство использования» можно представить состоящим из двух одинаковых по значимости разделов (например, удобство использования при подготовке почтовых отправлений и удобство использования при получении почты). Если каждый из этих разделов имеет такую же значимость, как и четвертый критерий («поддержка»), то критерий К₃ в два раза важнее критерия K_v Теперь обратимся к первому и второму критериям. Поскольку второй и третий критерии одинаково важны (2 «3), то можно оценивать степень превосходства первого критерия над третьим. Пусть критерий /С, («интерфейс») можно представить состоящим из трех одинаковых по значимости иодкритериев. Если каждый из этих трех подкритериев столь же значим, что и один из двух разделов критерия К., то критерий в 3/2 раза важнее критерия К₂. Поскольку критерии К₂ и К₃ равноважны, то всю указанную количественную информацию можно представить записью.

На основании вышеизложенного для сравнения оставшихся четырех почтовых клиентов х х², х³, х⁷ можно построить в соответствии с информацией 0 их «удлиненные» векторные оценки, выписывая оценку по каждому почтовому клиенту столько раз, на сколько равноважных разделов можно было разделить этот критерий:

Подчеркнем, что компоненты этих векторных оценок, согласно их «происхождению», можно рассматривать как значения восьми равноважных критериев. Подобного вида векторные оценки и характеризуют варианты в JV-модели, где JV= (3,2,2,1) для рассматриваемой задачи. Понятно, что коэффициенты важности критериев здесь таковы: а,= 3/8, а₂ = а₃ = ¼, а₄ = 1/8.

Опишем теперь конструкцию ;V-модели для общего случая. Будем полагать, что важности отдельных критериев р, — натуральные числа п_:, которые и составляют вектор N = (n_it…, где т — это число критериев. Если вначале числа Р_; были дробными, то для приведения к требуемому виду их надо умножить на подходящее натуральное число. Пусть, например, критериев всего два (т = 2), р, = 2,3 и Р₂ = 4,5. После умножения на 10 получаем соответственно п_{ = 23 и п., = 45, так что N = (23, 45).

Определение

Под N-моделью понимается модель с и, + … + п_т однородными критериями, причем первые n_i критериев получаются повторением («клонированием») первого критерия и, раз, следующие и, критериев получаются повторением первого критерия п₂ раз и т. д.

При этом все первые полученные критерии считаются равноважными между собой, все следующие п., критерии тоже считаются равноважными и т. д. Аналогичным способом векторные оценки исходной модели превращаются в «удлиненные» векторные оценки JV-модели, или JV-кратные оценки, или, N-оценки: оценка варианта по каждому из критериев, А повторяется n_i раз. И наоборот, если в Дооценке первые и, компонент между собой равны, следующие п₂ компонент также равны между собой и т. д., то ей можно поставить в соответствие векторную оценку в исходной модели. Пусть, например, для двухкритериалыюй задачи построена Д^г-модель, где N = (3, 4). Векторной оценке (1,6) будет соответствовать JV-оценка (1, 1, 1, 6, 6, 6, 6), а N-оценке (2, 2, 2, 5, 5, 5, 5) — векторная оценка (2, 5). А вот Дооценке (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) поставить в соответствие векторную оценку из исходной модели нельзя.

Информации 0 соответствует не одна, а целое множество JV-моделей: достаточно умножить все числа п, на любое натуральное число, большее 1.

(или разделить, если это возможно), и получится новая JV-модель. Например, из JV-модели с JV= (3,4) можно получить JV-модели с N= (6,8), JV= (9,12) и т. д. Однако все такие модели эквивалентны в том смысле, что использование любой из них на рассматриваемом далее пути приведет к одним и тем же конечным результатам. Среди всех JV-моделей, соответствующих информации 0, наиболее простой является та, в которой все т чисел n_v …, п_т являются взаимно простыми. Примером является JV-модель с JV= (3, 2, 2, 1) в задаче о почтовых клиентах. Использование именно таких моделей, которые можно назвать основными, упрощает выкладки.

Теперь можно сформулировать базовое определение количественной важности.

Определение

Критерий K_i в h раз важнее критерия К_)У когда для JV-модели, соответствующей исходной модели, выполнены следующие условия:

• 1) ⁿJn_j = h
• 2) каждый из п• критериев, полученных из критерия K_t, равноважен любому из n_j критериев, полученных из критерия К_}.

Обратите внимание!

Оценка относительной важности критериев может быть проведена на основе прямых и косвенных методов.

Прямые методы позволяют найти количественные оценки важности или степени превосходства в важности на основе результатов сравнения по предпочтению пар векторных оценок специального вида, используемых в определениях понятий равенства или превосходства в важности.

Косвенные методы предполагают вычисление оценок важности путем решения системы (зачастую несовместной!) линейных равенств и неравенств, построенной по результатам сравнения по предпочтению (без обращения к понятию важности!), достаточно большого количества пар «контрольных» векторных оценок.

В результате количественного оценивания важности чаще можно получить интервальные оценки, чем точечные. При интервальных оценках степень превосходства одного критерия над другим лежит в интервале, а при точечных оценках степень превосходства критериев составляет конкретное значение h. При наличии таких критериев целесообразно предложить эксперту или ЛПР подумать о возможности разложения критериев на подкритерии равной важности. При анализе критериев, характеризующих почтовых клиентов, применен рассмотренный выше подход разложения критериев.

При решении практических задач оценивания критериев может быть применен вероятностный метод. Для случая двухкритериальной задачи предполагаем, что первый критерий важнее второго в h > 1 раз. Нужно найти для конкретной задачи значение 1 г. Предположим, что а и b — две произвольные шкальные градации, причем а < Ь. Лицу, принимающему решение, предлагается либо сразу согласиться с векторной оценкой (Ь, а), либо принять точечную оценку в точке (b). В этом случае точку можно рассматривать как нулевой интервал (Ь, Ь).

Тогда вариант с векторной оценкой (а, /;) может быть принят с вероятностью (1 — р), а вариант точечной оценки — принят с вероятностью р.

В случае если вероятность/; близка к единице, то предпочтительнее интервал (b, /;), т. е. (/;, а)/(Ь, Ь) Р^{] > 2} (а, Ь). Если же вероятность р близка к нулю, то предпочтительнее выбрать вариант с векторной оценкой (b, а), гак как (/;, а) Р^{] > 2} (а, /;). Таким образом, можно предположить, что теоретически должно существовать некоторое значение р*, при котором для ЛПР безразлично, выбрать вариант с векторной оценкой (/;, а) или же принять участие в вероятностном выборе. Оказывается, что при любых значениях а и b имеем: р* = 1 — 1/А.

Обратите внимание!

Полученное выражение приводит к возможности показать путь определения степени превосходства в важности. На первом шаге необходимо выяснить, какой из критериев важнее. Если это первый критерий, то по ответам ЛПР находят такое значение вероятности р при котором лицу, принимающему решение, будет безразлично, принимать вариант (b, а) или перейти к вероятностному выбору._.

При этом необходимо вычислить

Значения вероятности р* и соответствующие степени превосходства в важности h приведены в табл. 12.2.

Таблица 12.2

Соотношение значений вероятности р и степени превосходства в важности h

Для оценки величины р* можно использовать следующую последовательность. Выбрать р, близкую к 1, такую, чтобы ЛПР заведомо предпочел участие в розыгрыше (лотерее). Далее, уменьшая вероятность р, доходим до такого граничного значения р при котором ЛПР еще предпочтет розыгрыш, а на следующем шаге уже не сможет определить, что для него предпочтительнее, принимать вариант (b, а) или перейти к вероятностному выбору на основе лотереи. Затем аналогичную процедуру проводим, начиная с величины р, близкой к нулю, и получаем р. На основе полученных значений р~ ир можно предположить, чтор* находится в интервале.

а степень превосходства в важности будет иметь интервальную оценку.

Обратите внимание!

В качестве заключения можно сказать, что использование предложенной процедуры может быть выполнено и для многокритериальных задач. Отличие заключается в том, что из имеющихся критериев выбираются два, а все остальные критерпи «замораживаются». Накопленная количественная информация о важности критериев представляет собой полную совокупность мнений о превосходстве одних критериев над другими.

При этом представляется возможным вычислить коэффициенты важности критериев.

• [1] Noghin V. D. Relative importance of criteria: a quantitative approach // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 1997. No 6. P. 355—363.