Формула Пуассона. 
Теория вероятностей

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Р_{т п} появления события А при большом числе испытаний п, например РзоодооПо формуле Бернулли (2.1)

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами р и <7 — числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления Р_тп при больших п. Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра —Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события, А в каждом испытании стремится к нулю (р —> 0) при неограниченном увеличении числа п испытаний (п —> оо), причем произведение пр стремится к постоянному числу А. пр -> А.), то вероятность Р_{т п} того, что событие, А появится т раз в п независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

? По формуле Бернулли (2.1).

или, учитывая, что т. е. при достаточно больших п,

Так как.

? х — А

ТО.

?

Строго говоря, условие теоремы Пуассона р —> 0 при п —" со, так что пр —^ А, противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р = const. Однако если вероятность р — постоянна и мала, число испытаний п — велико и число Х = пр — незначительно (будем полагать, что = пр < 10), то из предельного равенства (2.5) вытекает приближенная формула Пуассона

В табл. III приложений приведены значения функции Пуассона Р_т(А.).

0 Пример 2.4. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р — 1/365. Так как р — 1/365 — мала, п = 1825 — велико и А,-пр-1825 (1/365) = 5<10, то применяем формулу Пуассона (2.6).