Принятие решений при нечетких и нечисловых исходных данных; основы экспертных методов принятия решений

Анализ бинарных отношений.

Рассмотрим один из возможных подходов к принятию решения в случае, когда частные критерии/₁(х),…,/_т(х) носят нечисловой характер.

Пусть каждый частный критерий задает на множестве альтернатив бинарное отношение, а именно отношение порядка: строгого порядка — в простейшем случае (транзитивное, антирефлексивное), либо нестрогого порядка (транзитивное, антисимметричное, рефлексивное), либо квазипорядка (рефлексивное, транзитивное). На практике это означает, что по каждому из критериев либо все, либо некоторые из сравниваемых альтернативных решений могут быть упорядочены по степени их предпочтительности.^[1]

Каждое бинарное отношение R может быть представлено матрицей (будем обозначать ее той же буквой). Элементы r_i} матрицы определяются согласно следующему правилу

где i = 1,n;j = 1,…, гг; /г — общее число подлежащих сравнению объектов (в данном контексте — возможных альтернатив). Запись (x_j9Xj) е R обозначает, что объекту находится в отношении R с объектомХ-. Соответственно, (х_{, Xj) R означает, что x_i с хв отношении R не находится. В терминах элементов матрицы R указанные выше свойства бинарных отношений можно выразить следующим образом^[2]. Бинарное отношение R является:

• • рефлексивным, если r_i; = 1 для всех i = 1,…, п;
• • антирефлексивным, если г- ? = 0 для всех г = 1, гг;
• • симметричным, если г. . = r_ji для всех ij = 1,…, гг;
• • антисимметричным, если при г =? j r_i}Vj ? = 0 для всех i, j = 1,п
• • транзитивным, если r_i} = r_{j k} = I => г- ^ = 1 для всех г, у, k = 1,…, гг.

Последнее условие также можно записать как г-_; ?'? _k < г;

Степень «похожести» дв}^х бинарных отношений, очевидно, тем выше, чем больше число соответствующих элементов в их матрицах одинаково. Вполне естественно в качестве меры близости бинарных отношений R^(X) и R^(>) принять величину, равную сумме абсолютных величин разностей соответствующих элементов этих матриц.

Определение.

Расстоянием между бинарными отношениями R^(V) и R⁰⁾ называют величину r7(R^(X), R ^{), определяемую согласно формуле (10.1) [3].}

Можно заметить, что cl (R^(X>, R⁰⁾) обладает следующими свойствами:

• 1) cl (R^(X), R^(y)) > 0, причем d{R^(X)_y R°°) = 0 R⁽^° = R;
• 2) d (R^(X), R^(y)) = d (R^(y), R^w);
• 3) d (R^(X), R⁽¹⁾) < d (R^(X), R^(Z)) + d (R^(Z), R⁽¹⁾) для любых трех бинарных отношений R^(X), R^(y), R^(/).

Последнее свойство следует из свойств абсолютных величин и является обобщением известного «неравенства треугольника».

Указанные три свойства являются основными аксиомами, которым должно удовлетворять расстояние, определяемое для элементов любого пространства^[4]. Тем самым оправдано использование термина расстояние между бинарными отношениями применительно к (10.1).

Если число объектов достаточно велико, расстояние между бинарными отношениями R^(X) и R⁽⁾⁾ проще находить с помощью таблицы сопряженности N = {ft; .}, где элемент п.. равен числу объектов, которые в бинарном отношении К^(Х) относятся к i-и градации, а в R⁰⁾ — кj-й градации (г = 1, …, р; 7=1,q). Размеры р и q матрицы N, как правило, невелики по сравнению с числом объектов (за исключением случая, когда и R^(X), и R⁰⁾ оба являются отношениями строгого порядка: в этом случае все п_{. =1).

В задачах принятия решений оба бинарных отношения R^(A) и R^(}) являются, как правило, отношениями квазипорядка, т. е. определяют разбиение данного множества объектов на ненересскающиеся классы, причем сами эти классы строго упорядочены. Можно показать, что в этом случае расстояние d (R^(X R°°), определяемое согласно (10.1), может быть выражено следующим образом с помощью элементов таблицы сопряженности¹

Для поясняющей формулу (10.2) иллюстрации (которая, разумеется, не заменяет собой строгого доказательства) расположим все объекты в порядке следования градаций бинарного отношения R, начиная с /?, .элементов, относящихся к первой градации, и так далее до п_р ?, относящихся к последней. Внутри каждой градации бинарного отношения R^(X) упорядочим элементы в соответствии с порядком следования градаций бинарного отношения R⁽⁾⁾. При этом матрицы двух данных бинарных отношений приобретут вид, который на рис. 10.1 наглядно представлен для случая р = q = 3.

Рис. 10.1. Матрицы отношений квазипорядка Н^(Л) и R⁽0 Каждая из клеток матриц, представленных на рис. 10.1, представляет собой прямоугольник, имеющий число строк и столбцов, равное соответствующим элементам n_i. При этом все значения матрицы внутри каждого такого прямоугольника одинаковы (равны 1 или 0), а общее число элементов в таких прямоугольниках равно их «площади», т. е. произведению соответствующих элементов таблицы сопряженности.

Для завершения иллюстрации остается заметить, что d{R^(A), R^(y)) будет равно сумме «площадей» всех тех прямоугольников, значения элементов в которых различны для матриц R^(X) и R⁰⁾ (на рис. 10.1 для наглядности эти прямоугольники окрашены в серый цвет в матрице R^<})). Так, например, для строк, «соответствующих п₂₂«> будем иметь.

¹ Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974. 256 с.

что, как нетрудно заметить, в точности соответствует соответствующему слагаемому в сумме (10.2). Проделав такую же операцию для всех блоков, выделенных в построенных матрицах, получим выражение (10.2), что и завершает иллюстрацию.

Применим полученные результаты к задаче принятия решения при наличии нескольких альтернатив. Располагая данными о сравнении альтернатив на основе частных критериев (т.е. имея матрицы бинарных отношений R⁽¹⁾,…, R^(m)), ЛИР должен принять своего рода «компромиссное решение», построив такое результирующее бинарное отношение, которое наилучшим образом учитывало бы всю имеющуюся информацию.

Одним из возможных и вполне естественных подходов к решению является построение бинарного отношения R⁽ которое будет обладать тем свойством, что сумма расстояний от R^r) до бинарных отношений R⁽¹⁾,…, R^(w) является минимальной¹. Это условие можно записать в виде.

где минимум берется по всевозможным бинарным отношениям R, заданным на данном множестве объектов.

Обозначим через {гД} матрицу искомого бинарного отношения R^(} и аналогичным образом через {гД} (i = 1,…, т) — матрицы отношений R^(;), где j, k = 1, …, п — число оцениваемых объектов. Тогда для искомого отношения R⁽⁾ должно выполняться то условие, что сумма.

принимает минимальное значение по всем {r*_k}.

Пусть c_{j k} — число частных критериев (среди т рассматриваемых), по которым j-й объект не хуже, чем k-и объект (/, k = 1,…, п). Тогда.

Поскольку все элементы г*_к и гД могут принимать только значения 0 или 1, в формуле (10.3) можно модуль разности гД — гД заменить на квадрат разности (гД — гД)². Тогда с учетом (10.4) (10.3) можно записать в виде.

Выбор отношения R^(t) может повлиять только на величину вычитаемого в круглых скобках в выражении (10.5). Поэтому минимум 5(R^r)) достигается тогда, когда достигается максимум выражения.

¹ Шрейдер Ю. Л. Указ. соч.

Чтобы выражение (10.6) достигало своего максимума, нужно, чтобы г*_к равнялось единице всякий раз, когда Cj _k > т/2, и равнялось нулю в противном случае.

Таким образом, получено следующее простое правило нахождения элементов матрицы {гД} искомого бинарного отношения R⁽⁾

Данное правило можно назвать «правилом большинства», так как оно определяет, что произвольные два объекта (две альтернативы) из рассматриваемого множества будут находиться между собой в отношении Rⁿ в том случае, если число исходных отношений R⁽⁰ (i = 1,…, т), в которых данные два объекта находятся, — больше половины от их общего числа т^{.

На практике данный простой метод построения оптимального (усредненного) решения применим далеко не всегда. Дело в том, что даже если все бинарные отношения R^(,), …, R^(m) являются отношениями квазипорядка, то построенное согласно (10.7) отношение R⁽⁾ вовсе не обязательно также будет квазипорядком. Для иллюстрации этого обстоятельства можно привести следующий простой пример.

Пример решения, не являющегося отношением квазипорядка.

Пусть имеются результаты сравнения п = 5 возможных альтернатив (объектов): О,…, 0₅ по трем частным критериям /, /₂, /₃. Результаты представлены в виде ранжировок, которые содержат связные ранги и, тем самым, задают на множестве объектов отношения квазипорядка. Эти ранжировки пусть имеют следующий вид.

Построим матрицы бинарных отношений, которые отвечают, соответственно,/,^,^.

Далее построим согласно «правилу большинства» (10.7) результирующее бинарное отношение R^r)

¹ Если т — четное, то при с_)к = т/2, значение г*_к можно произвольно полагать равным 0 или 1, так как эти значения не влияют на минимум выражения (10.3).

Можно показать, что построенное отношение R^[5] 'не является квазипорядком, так как оно не обладает свойством транзитивности.

Таким образом, если в условиях данного примера задача, стоящая перед Л IIP, предполагает построение согласованного квазипорядка, то метод, основанный на «правиле большинства», не дает окончательного решения. В то же время, если для ЛПР важно лишь указать на основе трех частных критериев одну наилучшую альтернативу, то таковая может быть найдена в рамках данного метода: это, очевидно, объект 0₃ так как эго единственный объект, который находится в бинарном отношении R^r)co всеми остальными объектами.

Примеры экспертных методов.

Экспертные методы играют важную роль во многих задачах, связанных с принятием решений. В их основе лежит субъективное суждение специалиста (эксперта), выраженное в виде оценки сравнительной предпочтительности рассматриваемых альтернативных решений. Такое суждение может затрагивать отдельно взятое решение (вербальная оценка, оценка в баллах), пару сопоставляемых альтернативных решений (экспертные методы парных сравнений) или всю совокупность решений в целом (ранжировка)^[5]. Полезность того или иного решения, которой руководствуется каждый эксперт, не формализована и носит субъективный характер.

Если общее число т частных критериев невелико, то решение может быть получено на основе получаемых от каждого из экспертов ранжировок множества частных критериев /, …, f_m по степени значимости входящих в него элементов.

Принято считать, что в силу психологических аспектов человеческого восприятия более надежными и устойчивыми (т.е. воспроизводимыми при повторном опросе) являются результаты не прямого ранжирования оцениваемых объектов, а их парных сравнений. В первом случае эксперт вынужден рассматривать всю совокупность объектов одновременно и производить оценку каждого из них в сравнении со всеми остальными. Если число объектов достаточно велико, то это может вызывать вполне понятные затруднения и снижать качество результатов экспертизы. Во втором случае эксперту поочередно предъявляются все возможные пары из числа имеющихся объектов, и его задача сводится к тому, чтобы определить, какой из данных двух объектов является более предпочтительным.

В то же время метод получения экспертной информации путем парных сравнений имеет и свои недостатки. Прежде всего, необходимо отметить трудности чисто организационного характера (время на проведение экспертизы может существенно возрастать, так как ее процедура должна обеспечить максимальную независимость результата каждого сравнения от результатов предыдущих и т. п.). Помимо этого могут возникнуть «нарушения транзитивности» результатов парных сравнений, когда, например, объект/! признается экспертом лучше, чем объект В, в свою очередь объект В признается лучшим, чем объект С, но при непосредственном сравнении объектов А и С выбор экспертом делается в пользу С.

Построение результирующего ранжирования частных критериев на основе парных сравнений также носит эвристический характер и может осуществляться различными способами. Как один из наиболее простых и наглядных можно отметить следующий. Построим матрицу В размерами т х т, элементы ₎ которой равны 1, если результат парного сравнения частных критериев/(х) и fj (x) приводит к выводу в пользу первого из них, в противном случае Ь_: .полагаем равным -1. Если/₍ и/. неразличимы по своей значимости, то = 0.

Итоговую ранжировку получаем путем упорядочения сумм элементов матрицы В по строкам, так что наивысший ранг получит тот частный критерий, который имеет наибольшее число «побед» по результатам парных сравнений его с остальными критериями.

Рассмотрим более подробно методы анализа и принятия решений на основе экспертных данных, представленных в виде ранжировок.

В результате ранжировки каждому из частных критериев присваивается ранг — число R_jt отражающее относительную степень важности критерия /₍ по сравнению с другими частными критериями. Ранжировку т объектов (в данном случае — частных критериев) можно представить в виде последовательности т чисел.

где /?, — ранг г-го критерия (г = 1,…, т).

Если результаты проведения экспертизы определяют на множестве частных критериев отношение строгого порядка (т.е. если с точки зрения эксперта все критерии различаются между собой по степени важности), то ранг R_t можно определить как натуральное число, на единицу большее, чем число объектов, имеющих более высокий уровень качества, чем г-й объект. Таким образом, наилучший из объектов получит ранг, равный 1, а наихудший — ранг, равный т.

Пример: пусть ранжировка множества из пяти объектов (частных критериев) (/р/г./з-Л./з) имеет следующий вид: (2, 5, 1,3,4). Таким образом, наилучшим был признан объект № 3 (его ранг R₃= 1), следующим в порядке убывания значимости признан объект № 1 (R_t = 2), а объект № 2 признан наихудшим среди данных пяти объектов (R₂ = 5). Тем самым на данном множестве определено отношение строгого порядка.

Сумма S всех рангов при ранжировании т объектов всегда будет равна сумме первых т чисел натурального ряда.

поскольку в данном случае любая ранжировка представляет собой перестановку первых т натуральных чисел.

Если же некоторые из объектов (критериев) оказались по степени своей важности неразличимыми, в этом случае принято говорить, что в ранжировке присутствуют связные ранги. При этом критериям, важность которых по итогам экспертизы признана одинаковой, приписываются равные ранги так, чтобы и в этом случае для рангов выполнялось условие (10.9). А именно: пусть среди т объектов имеется н, объектов, имеющих наивысшую степень важности,…, я* объектов, имеющих k-io (самую низкую) степень важности. Тогда ранг каждого из п₍-объектов, относящихся к i-му уровню (i = = 1,k), будет равен.

т.е. будет равен среднему арифметическому рангов объектов, относящихся к данному уровню. Последнее выражение легко преобразовать к виду.

Пример: пусть результаты ранжирования пяти объектов имеют следующий вид^1.

т.е. объекты О, и 0₃ имеют одинаковое и притом наивысшее качество, а качество объектов О₂ и 0₅ — одинаковое, но самое низкое. Тогда объектам будут приписаны следующие ранги: (1,5; 4,5; 1,5; 3; 4,5).

В данном примере выделено к = 3 различных уровня качества, причем п_л = 2, п₂ = 1, п₃ = 2. Таким образом, в частности, ранг объекта 0₂, относящегося к категории i = 3, будет согласно (10.10) равен R₂ = 2 + 1 + (2 + 1)/2 = 4,5.

Обратите внимание!

Требование постоянства суммы рангов введено исключительно в целях последующей обработки результатов ранжировки. От эксперта, очевидно, не следует ожидать результата в виде рангов, удовлетворяющих (10.9). Более естественным для него представить свои оценки в виде, аналогичном (10.11) или в какомлибо ином^[7], из которого далее путем подсчета можно получить ранги, удовлетворяющие (10.10). Однако это уже является задачей лица, обрабатывающего результаты экспертизы, а не самого эксперта.

• 1 Если имеются связные ранги, то при изображении результатов ранжировки объекты, имеющие одинаковый уровень качества, будем располагать в столбик, взятый в круглые скобки.
• 2 В программной среде Microsoft Excel функция РАНГ приписывает ранг каждому значению из заданной совокупности, относящемуся к г-му уровню качества, по формуле я, + + п₂ + … + «, _, + 1, и, в отличие от (10.10), ранг объекта считается равным числу, большему на единицу, чем число объектов, имеющих более высокий «уровень качества», чем данный объект, и не зависит от числа п_{.

для каждого из т объектов. Каждая такая сумма может принимать значения в пределах от 5_min = п до 5_шах = т-п. Случай S_} = S_mm означает, что все п экспертов единодушно поставили j-й объект на первое место. Если 5- = 5_шах, тоу-й объект был признан всеми экспертами наихудшим. Общая сумма всех рангов, содержащихся в таблице, будет.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Разделив последнее выражение на общее число объектов т, можно найти 5_ср — среднюю сумму рангов, приходящуюся на один оцениваемый объект, Значения, принимаемые суммами (10.12), служат основанием для принятия решения об упорядоченности объектов (частных критериев): чем меньше S_r тем более весомым является j-й объект. Однако, прежде чем такое формальное решение может быть принято, следует проверить, имеется ли у данного комитета экспертов согласованное мнение или же различия между отдельными суммами (10.12) не являются значимыми.

Необходимость в такой проверке обусловлена тем, что мнения экспертов могут значительно отличаться друг от друга (например, одна часть экспертов придерживается взглядов одной научной школы, а другая — другой). В этом случае большинство из сумм рангов S_J будут мало различаться между собой, поскольку высокие ранги, которые получил объект у одной части комитета экспертов, будут компенсироваться низкими рангами, полученными им у других экспертов. Другой причиной отсутствия согласованности может служить «безразличие» членов комитета, которое проявляется в том, что большинство ранжировок содержат много связных рангов. Иными словами, в этом случае многие эксперты не различают предъявленные им объекты по уровню их важности.

Проверка наличия согласованности мнений у комитета экспертов осуществляется при помощи коэффициента конкордации W

где т — число ранжируемых объектов; п — число экспертов; Т_{ — поправочные коэффициенты (г = 1,…, п)

необходимые для расчета коэффициента конкордации; k_x — число различных уровней, выделенных г-м экспертом; п_и — число элементов, которые i-м экспертом были отнесены к /-му уровню (/ = 1,…, k_i).

Можно показать, что каковы бы ни были результаты ранжировки, значение коэффициента конкордации всегда лежит в пределах 0 < W < 1. При этом случай W = 0 соответствует полной несогласованности мнений экспертов или их безразличию, гак как при этом все S_; = 5_ср. Напротив, чем больше значение W, тем выше согласованность мнений комитета экспертов. При W= 1 имеет место полное единодушие экспертов, которые все одинаковым образом ранжируют данное множество объектов.

Докажем этот факт для частного случая, когда во всех ранжировках отсутствуют связные ранги. Это означает, что k_i = т для всех i = 1,…, п, а так как все п ранжировок определяют строгий порядок, то в (10.15) все n_{i t} будут равны единице. При этом выражение (10.14) существенно упрощается.

поскольку все T_i становятся равны 0. Пронумеруем объекты в порядке результатов ранжировки. Если в каждой из ранжировок все объекты упорядочены одинаково, то

так как все эксперты выставили первому объекту ранг, равный 1, второму — ранг, равный 2, … и т. д.; т-иу объекту — ранг, равный т. Раскрыв скобки в числителе (10.14), после несложных преобразований получим.

Вопрос о значимости отличия коэффициента конкордации от нуля решается при помощи критерия, основанного на распределении хи-квадрат (х²). А именно, если для выбранного уровня значимости, а выполнено неравенство.

где х_табл ^— ct-процентная точка распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, равным (т — 1), то делается вывод о том, что данный комитет экспертов имеет согласованную точку зрения на ранжируемые объекты.

Обратите внимание!

Используемые понятия «отсутствие согласованности» и «независимость мнений экспертов» нуждаются в уточнении. Полное отсутствие согласованности следует понимать так, что у каждого из экспертов любая возможная ранжировка объектов может наблюдаться с одинаковой вероятностью независимо от того, какие ранжировки получены от остальных. Тем самым на множестве всевозможных результатов экспертизы задается равномерное распределение вероятностей, а коэффициент конкордации становится случайной величиной.

Это позволяет, имея конкретные результаты экспертизы, воспользоваться общими принципами проверки статистических гипотез.

Таким образом, решение о выборе наиболее предпочтительной альтернативы на основе анализа экспертных оценок может быть построено лишь случае, когда комитет экспертов имеет согласованную точку зрения. В иных случаях перед ЛПР возникает более сложная задача: выявить структуру взаимосвязей внутри комитета экспертов, что может позволить разбить множество экспертов на части (подгруппы), внутри каждой из которых мнения уже будут являться согласованными. После этого для каждой такой подгруппы задача принятия решения будет решаться отдельно. В итоге будут найдены решения, являющиеся локально-оптимальными (т.е. оптимальными внутри отдельной части комитета экспертов).

Для исследования структуры взаимосвязей между имеющимися ранжировками, полученными от экспертов, используются рассматриваемые далее коэффициенты ранговой корреляции.

• [1] Данный пример был предложен в качестве одного из упражнений для самостоятельногорешения в книге: Де Гроот М. Указ. соч.
• [2] 2 Шрейдер 10. А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 256 с.
• [3] Расстояние между бинарными отношениями, определяемое формулой (10.1), принятоназывать «расстоянием Кемени».
• [4] Множество элементов произвольной природы с определенной для них функцией, удовлетворяющей свойствам 1—3, называют метрическим пространством, а саму эту функциюрасстоянием или метрикой.
• [5] Бешелев С. Д., Гурвич Ф. Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973.159 с.
• [6] Бешелев С. Д., Гурвич Ф. Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973.159 с.
• [7] При проведении ранжирования частных критериев ЛИР, как правило, привлекает не одного, а несколько экспертов (комитет, состоящий из п лиц), каждый из которых представляет свою ранжировку данных т объектов. Согласованное мнение комитета экспертов позволит ЛПР получитьвполне обоснованное упорядочение частных критериев, опирающееся намнение всего комитета в целом. Пусть R — матрица, размерами п х т, элементами которой служат ранги Rjj, которые получены j-м объектом (/ = 1, …, т) в ранжировке г-го эксперта (i = 1,…, п). Вычислим суммы