Построение бинарных отношений предпочтения на множестве вероятностных распределений

Для ЗПР в условиях вероятностной неопределенности множеством задания бинарных отношений предпочтения является множество всевозможных вещественных функций распределения Т (см. (7.1)), описанное в параграфе 7.5.

Определение Для функций распределения Д С е 4^х говорят, что Е доминирует 6 (Р>_{ С) по отношению стохастического доминирования первого рода (или первого порядка), если.

причем хотя бы для одного значения? е 9? это неравенство является строгим.

Это означает, что график функции распределения Д?) располагается правее графика функции 6(0 (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Стохастическое доминирование первого рода.

Обратите внимание!

Если F (t) — функция распределения случайной величины ?, a G (t) — функция распределения случайной величины ц, то по определению F (t) = Р{?, = Р{?> е (-°°, 0} и G (t) = Р{ц = Р{г| g (-°°, 0}- Тогда соотношение F (t) < G (t), Vi е ^S.H означает, что вероятность того, что значения ^ принадлежат интервалу (-°°, i), не превосходит вероятность того, что значения г принадлежат тому же интервалу.

Пример стохастического доминирования. Обозначим Р — функцию распределения случайной величины Пусть а > 0 — некоторая константа. Тогда р_+д стохастически доминирует Р — Рс_+Д >, F_i (рис. 7.3). Например, если ?, — это величина прибыли, полученная некоторым магазином в течение месяца, то, увеличив прибыль на заданное неслучайное число условных единиц, получим, что вероятность того, что величина прибыли ?, + а меньше любого заданного значения? не превышает вероятность того, что величина % меньше этого значения ?. Иначе говоря, чем больше прибыль, тем с меньшей вероятностью она принимает малые значения.

Пример стохастического доминирования, если Р_?(х) = 1 — ехр (-Х, х) — экспоненциальная функция распределения с параметром X > 0, то Р_х >, Р_Х] при Х₁ > Х₂ (рис. 7.4).

Рис. 7.3. Пример стохастического доминирования.

Рис. 7.4. Стохастическое доминирование, если функции распределения изменяются по экспоненте.

Если функции распределения пересекаются (рис. 7.5), то нельзя утверждать, что одна из функций доминирует другую по отношению стохастического доминирования первого порядка.

Рис. 75. Нарушение свойства стохастического доминирования первого рода.

В этом случае можно рассмотреть так называемую накопленную функцию распределения, т. е. можно сравнивать площади под функциями распределения.

Определение Для функций распределения Г. С, е Т говорят, что Р доминирует С (/-' 2*, С) по отношению стохастического доминирования второго рода (или второго порядка), если.

Заметим, что стохастическое доминирование первого порядка влечет за собой стохастическое доминирование второго порядка, г. е. является более сильным свойством.

Обратите внимание!

Отношения стохастического доминирования нс обладают свойством полноты.