Модель разделения портфеля рисковых и безрисковых активов в условиях стратегии самофинансирования

Концепция стратегии самофинансирования широко используется в современной теории финансов для моделирования поведения отдельного инвестора, принимающего решения относительно наиболее рационального размещения финансовых ресурсов.

Предположим, что инвестор решает задачу распределения денежных средств между одним рисковым финансовым активом и одним безрисковым (облигацией или банковским депозитом). Эти средства планируется разместить на определенный промежуток времени, называемый периодом владения. В течение указанного периода инвестор не осуществляет пи дополнительных вложений, ни изъятий средств из портфеля. Другими словами, сформированный портфель является самофинансируемым. В конце периода владения инвестор продает имеющиеся активы, после чего использует полученный доход на потребление или реинвестирует указанный доход в те же или иные активы. При этом, в отличие от однопериодной модели Марковица, инвестор может перемещать средства из рисковых активов в облигации в течение периода владения.

Уровень доходности портфеля, состоящего из рисковых активов и облигаций, является случайной величиной, а точнее говоря, случайным процессом, заданным на временном интервале, соответствующем периоду владения. При этом изменение цены рискового актива описывается уравнением (4.1), а облигации — (4.2). Принимая решения о распределении средств, инвестор задает желаемый уровень конечного благосостояния.

С другой стороны, но аналогии с классической теорией формирования портфеля можно предположить, что, стремясь увеличить конечное благосостояние, инвестор желает минимизировать неопределенность будущей стоимости портфеля, т. е. стандартное отклонение стоимости портфеля на момент окончания периода владения. Предполагается также отсутствие налогов и трансакционных издержек, связанных с формированием инвестиционного портфеля.

Таким образом, инвестор выбирает такой способ распределения средств между рисковыми и безрисковыми активами, чтобы с наибольшей гарантией получить на конец периода владения требуемую сумму.

Обозначим [ 0; 7] временной интервал, соответствующий периоду владения портфелем. Стоимость портфеля определяется соотношением.

где a_t и b_t — соответственно количество рискового актива и облигаций в портфеле па момент времени t X_t — цепа рискового актива, динамика которой описывается уравнением (4.1); В, — цена облигации, задаваемая соотношением (4.2). Будем считать, что с> г > 0, т. е. ожидаемая доходность рискового актива превышает безрисковую доходность.

Задаваемую инвестором на момент времени Т стоимость портфеля обозначим V_T. Поскольку текущее значение стоимости портфеля Т₀ известно, задание требуемой стоимости портфеля равносильно заданию требуемой нормы доходности этого портфеля. Величина.

является требуемой непрерывной доходностью портфеля. Очевидно, что инвестор должен выбирать конечную стоимость портфеля так, чтобы выполнялось неравенство г< тп_р(Т) < с.

В дополнение к сделанным предположениям о поведении инвестора можно заметить, что также выполняются предпосылки о пенасыщаемости и об избегании риска. Первая означает, что при прочих равных условиях инвестор выбирает портфель с большей ожидаемой доходностью, а вторая заключается в том, что при тех же условиях инвестор выберет портфель, стоимость которого имеет меньшую дисперсию на момент окончания периода владения, т. е. па момент времени Т.

Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению управления u (t), 0 < t < Т_у где значение u (t) соответствует доле рискового актива в портфеле на момент времени t, так чтобы дисперсия стоимости портфеля на момент Т была минимальной, а математическое ожидание стоимости портфеля на этот момент MV_т в точности соответствовало заданному благосостоянию V_T.

Поскольку u (t) является долей рискового актива в портфеле, естественно задать условие, что 0 < u (t) < 1 на каждый момент времени t. Сформулированную задачу можно формально записать следующим образом:

Задача (4.5) вследствие случайности процесса ценообразования рискового актива относится к классу задач управления при неточной информации. Подобные задачи встречаются в различных областях. Общим для этих задач является то, что эволюция системы происходит при наличии разнообразных факторов, известных неточно. Возможны разные способы математической формализации задач управления стохастическими системами. При вероятностном подходе неполнота информации интерпретируется как действие на систему случайных возмущений. Задачи управления при случайных возмущениях, в свою очередь, связаны с оптимизацией некоторых стохастических характеристик (например, средних квадратичных отклонений реальных показателей системы в будущие моменты времени от заданных нормативов). Данные задачи решаются при различных ограничениях на управление, которые зависят от имеющихся ресурсов.

Для решения задачи (4.5) необходимо определить значения математического ожидания и дисперсии стоимости портфеля.

Поскольку согласно сделанным предположениям портфель является самофинансируемым, справедливо соотношение

Количество рискового актива в портфеле можно представить в виде.

а количество облигаций — в виде.

Тогда из соотношения (4.6) следует, что.

Учитывая выражения для процессов ценообразования рискового актива и облигации (4.1) и (4.2), получим

или

Таким образом, изменение стоимости портфеля описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением, поэтому для определения его математического ожидания и дисперсии можно непосредственно воспользоваться формулами (2.10) и (2.11). В данном случае.

Тогда, используя формулу (2.10), получим следующую задачу Коши для функции р (?), соответствующей математическому ожиданию MV_t стоимости портфеля:

Решая задачу (4.7), получим выражение для математического ожидания стоимости портфеля на произвольный момент времени t е (0; 7]:

Значение функции р (?) на момент времени t = Г, т. е. на конец периода управления портфелем, соответствует требуемому инвестором уровню благосостояния V_T. Тогда, учитывая независимость с и гот времени, получим соотношение для интеграла вдоль реализации процесса и (т):

На основе формулы (2.11) можно сформулировать задачу Коши для функции S (t) = MV'²:

Решением задачи (4.10) является функция.

Учитывая соотношение (4.9), а также то, что дисперсия портфеля на момент окончания периода управления определяется соотношением DV_T= S (T) — х (Т)², получим следующее выражение для указанной дисперсии:

Из последнего соотношения непосредственно следует, что задача минимизации функции DV_T эквивалентна задачи минимизации интеграла т

| и{т)²(1т. Единственное ограничение данной задачи определяется соотноо шением (4.9). Отметим, что условие

автоматически выполняется в силу выбора инвестором требуемой доходности т_р(Т) в течение периода управления таким образом, что rp(T) < с. Обобщая вышесказанное, приходим к следующей оптимизационной задаче определения доли и (т) средств, вкладываемых в рисковый актив:

при ограничении (4.9).

Для решения данной задачи введем обозначение.

Интеграл в выражении (4.12) представим в следующем виде:

Очевидно, что выражение (4.14) достигает своего минимального значения при и{т) = -, а это с учетом обозначения (4.13) приводит к окончательному выражению, определяющему постоянное значение и{т) = и:

Превышение требуемой инвестором доходности портфеля над безрисковой ставкой можно трактовать как премию за риск, связанный с инвестированием одновременно и в рисковые, и в безрисковые активы, или рисковую премию портфеля. Избыточная доходность рискового актива по сравнению с безрисковой доходностью также имеет устоявшееся название премии по рисковому активу. Таким образом, оптимальное распределение капитала инвестора при формировании портфеля в рамках сделанных предположений определяется отношением желаемой, или требуемой, премии данного портфеля к фактической премии рискового актива. Указанная оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в рисковый актив, постоянной во времени. Однако это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цены активов, как рискового, так и облигации, меняются с течением времени.

Выражение (4.15) можно интерпретировать определенным образом с точки зрения равновесной теории ценообразования на капитальные активы {САРМ). Согласно данной теории в условиях равновесного рынка, т. е. рынка, на котором инвесторы располагают одинаковой информацией, имеющей отношение к ценам обращающихся на рынках активов, премии как отдельных рисковых активов, так и портфелей пропорциональны рыночной премии. Последняя определяется как превышение средней доходности на рынке рисковых активов над безрисковой нормой доходности. Коэффициент пропорциональности указанной зависимости называется 0-коэффициентом. В рассматриваемом случае рисковые премии сформированного портфеля и отдельного актива соответственно равны.

Подставляя полученные соотношения в формулу (4.15), получим.

Таким образом, оптимальная доля инвестирования в рисковый актив, обеспечивающая минимальную дисперсию стоимости портфеля на момент завершения периода управления, может определяться как отношение задаваемого инвестором (3-коэффициента формируемого портфеля ((Д) и текущего значения (3-коэффициента рискового актива ((3₅). Поскольку значения |3-коэффициентов носят существенно более стабильный характер, чем непосредственно значения доходностей торгуемых активов, при выборе инвестиционной стратегии предпочтительно использование соотношения (4.16).