Приближение малых чисел Рейнольдса. 
Задача Стокса

В этой задаче рассматривается неподвижная твердая сферическая частица радиуса R, обтекаемая потоком вязкой жидкости со скоростью v_n. Предполагается, что выполняется сильное неравенство Re = pv₀R / г| <�к 1. Требуется найти скорость жидкости вблизи частицы и силу взаимодействия между потоком вязкой жидкости и частицей.

В приближении Стокса стационарное уравнение (59) имеет вид

Задачу будем решать в сферической системе координат с началом в центре частицы и полярной осью Oz, направленной вдоль скорости v₀ натекающего потока. Эта система координат показана на рис. 7.

В используемой системе координат задача имеет следующие граничные условия:

и

Первое из этих условий означает, что на бесконечном расстоянии от частицы скорость v жидкости совпадает со скоростью v_o натекающего потока. Второе отражает условия нспротскания и прилипания на поверхности частицы.

Уравнения Навье — Стокса и несжимаемости в сферической системе координат приведены в Приложении. Из соображений симметрии следует, что у_ф = 0. Кроме того, от угла (р никакие физические величины зависеть нс могут, поэтому в уравнениях движения должно выполняться условие д/дср = 0. Учитывая это, уравнение Навье — Стокса в сферической системе координат можно записать в виде.

Уравнение несжимаемости divv= 0 имеет вид:

Граничные условия на бесконечности подсказывают, что решение уравнений (85)-(87) можно искать в виде.

Подставляя эти соотношения в (85)-(87), после преобразований приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

Исключая из этих уравнений g и |/, приходим к следующему уравнению:

Соотношение (89) является однородным уравнением Эйлера. Как известно, решение таких уравнений имеет вид / ~ г" . Подставляя его в (88), приходим к уравнению относительно п, которое имеет решения п = 0,2, -1, — 3. Таким образом, общее решение (89).

Из граничного условия (83) получаем а = О, Ь_ъ = v₀.

Учитывая это, из уравнения (87) получаем.

Таким образом, компоненты скорости и давление имеют вид.

Постоянные интегрирования b_{, b₂ могут быть определены из граничных условий (84), которые дают.

Последняя система уравнений может быть решена элементарно.

На поверхности частицы обозначим элементарную площадку ds. Действующая на нее со стороны жидкости сила в сферической системе координат имеет компоненты.

Компоненты тензора напряжений в сферической системе координат даны в Приложении. Компонента этой силы в направлении Or.

Полная сила, действующая на частицу в направлении оси Oz, равна

Определив b_t и 6, из уравнений (93), используя выражения (92) в формулах для компонент тензора о, после несложных вычислений получаем

или в векторном виде

Соотношение (94) называется формулой Стокса.

Формула Стокса может быть использована и для вычисления силы, действующей па частицу, движущуюся со скоростью v_o относительно жидкости. Действительно, перейдя в систему координат, связанную с движущейся частицей, мы возвращаемся к задаче об ее обтекании потоком, скорость которого теперь — v₀. Поэтому на движущуюся частицу действует сила F = -6яг|яу₀.

Пусть частица массы т движется в вязкой жидкости под действием силы f. Учитывая эффект присоединенной массы, уравнение движения этой частицы можно записать гак:

Скорость частицы мы сейчас обозначаем и.

В случае постоянной силы f решение этого уравнения имеет.

Здесь и₀ — начальная скорость частицы; т = (/и + т')/(блр/?). Величина т имеет размерность времени. Ее смысл таков: если вид время t много меньше т, то частица движется со скоростью, близкой к начальной скорости и₀. Если Г" т, она движется практически со стационарной скоростью / /(блрЛ). Следовательно, по порядку величины т равно интервалу времени, в течение которого происходит изменение скорости частицы от начального значения до стационарного. Оценим величину этого интервала.

Допустим, что несущая жидкость — вода, плотность частицы по порядку величины совпадает с плотностью воды, радиус R частицы около одного микрона. Тогда, учитывая приведенное выше значение вязкости и плотности воды, получаем т ~ 10^-h с. Это очень маленькое время. Значит, в микрогидродинамике частицы практически всегда движутся со скоростью u = f / (блр/?), а инерционным членом, пропорциональным ускорению du / dt, в уравнении движения мелкой частицы можно пренебречь. Это очень важное замечание, так как оно позволяет сильно упростить анализ движения микрочастиц в вязких жидкостях.

Аналогично формуле Стокса может быть выведена формула Ада мара — Рыбчинского для силы, испытываемой со стороны окружающей жидкости вязкой микрокапелькой. Эта формула имеет вид [4].

где г)' — вязкость жидкости капли. Важно отметить, что формула (95) получена в предположении, что силы поверхностного натяжения не дают капле деформироваться при ее движении и она сохраняет сферическую форму. Это значит, что соотношение (95) справедливо только для очень маленьких капелек.

Если р'"р, формула Адамара — Рыбчинского переходит в формулу Стокса. Если р'": р, формула Адамара — Рыбчинского дает

Сравнивая эту формулу с формулой Стокса (94), видим, что сила сопротивления, действующая на капельку маловязкой жидкости.

или пузырек с газом, в полтора раза меньше, чем сила, действующая на твердую частицу, движущуюся с той же скоростью.