Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения а нормального распределения

Пусть количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение, а по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению 5. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр, а с заданной надежностью у.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение.

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство.

в равносильное неравенство.

Положив 8/5 = <7, получим.

Остается найти ц. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»:

где п — объем выборки.

Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (***)], величина S — 1)/а² распределена по закону х² с п -1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через %.

Плотность распределения х имеет вид (см. пояснение в конце параграфа).

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит лишь от объема выборки п.

Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид х, < X < < х₂— Вероятность этого неравенства (см. гл. 11, § 2) равна заданной вероятности у, т. е.

Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так: Умножив все члены неравенства на Ssjn —1, получим или.

Вероятность того, что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, равна

Из этого уравнения можно по заданным п и у найти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей приложения 4.

Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый доверительный интервал (*), покрывающий, а с заданной надежностью у, т. е. интервал.

Пример 1. Количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8- Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение, а с надежностью 0,95.

Р с ш с и и е. По таблице приложения 4 по данным у = 0,95 и п = 25 найдем q = 0,32.

Искомый доверительный интервал (*) таков:

3 а м е ч, а н и с. Выше предполагалось, что q< 1. Если q > 1, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что, а > 0).

или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1).

Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения.

Практически для отыскания значений q> 1, соответствующих различным заданным п и у, пользуются таблицей приложения 4.

Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема гг = 10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,999.

Решение. По таблице приложения 4 но данным у = 0,999 и п= 10 найдем q = 1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:

Пояснен и е. Покажем, что плотность распределения % имеет вид (**).

Если случайная величина X распределена по закону %² с k = п — 1 степенями свободы, то ее плотность распределения (см. гл. 12, § 13).

или после подстановки k-n — 1 Воспользуемся формулой (см. гл. 12, § 10).

чтобы найти распределение функции % = ф (Х) = Vx (% > 0). От сюда обратная функция.

Так как % > 0, то | |/'(Х) I⁼ 2/, следовательно,.

Выполнив элементарные преобразования и изменив обозначения (g (х) заменим на R (%, п)), окончательно получим.