Преобразования скоростей. 
Курс общей физики

Пусть движение одной и той же частицы исследуют одновременно два наблюдателя, находящихся в различных инерциальных системах отсчета К и К¹. Относительно системы отсчета К движение частицы описывается векторной функцией г = г (<), а относительно системы К' - функцией г' = r'(t'). Соответственно скорости v и v¹ этой частицы относительно систем отсчета К и К¹ будут.

Проекции этих векторов на оси координат равны.

Бесконечно малые приращения функций (10.б) имеют вид.

Подставив дифференциалы (10.11) в формулы (10.9), с учетом (10.10) получим:

Эти формулы описывают закон преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они соответствуют преобразованиям Лоренца и заменяют собой закон сложения скоростей (3.8), соответствующий преобразованиям Галилея. Предельный переход с —? оо трансформирует формулы (10.12) в (3.8).

Используя формулы (10.12), нетрудно доказать следующее соотношение:

Из этого соотношения вытекает, что для частицы, движущейся со скоростью света относительно какой-либо инерциальной системы отсчета, модуль вектора скорости во всех других системах отсчета также будет равен скорости света; т. е. если v' = с, то и v = с. Этого следовало ожидать, так как принцип постоянства скорости света был заложен в основу теории преобразований Лоренца.