Модели, приводящие к предельным циклам

Рассмотрим схему реакции.

Концентрации исходных веществ и конечных продуктов (Л, В_у ?, D) остаются постоянными, в то время как концентрации двух промежуточных компонентов X и Y изменяются во времени. Полагая константы скоростей равными единице, получаем систему уравнений.

допускающую стационарное состояние

Дисперсное уравнение для системы (5.54) имеет вид.

Вещественная часть одного из корней становится положительной, если выполняется условие.

Следовательно, в схеме реакции (5.53) в отличие от схемы (5.37) в разд. § 5.2 наблюдается настоящая неустойчивость [9, 13].

Рассмотрим поведение системы (5.54) за пределами точки С_в=1 + С_А^г. Преобразуем систему (5.54), приведя ее к одному уравнению второго порядка относительно переменной С_х [9, 14]. Сделаем подстановку.

Тогда для *(/) получим уравнение.

Упростим уравнение (5.59), введя переменную? получим.

Уравнение (5.61) принадлежит к типу нелинейных уравнений.

изученных в [15, 16].

Показано, что при выполнении условия.

уравнение (5.62) имеет по крайней мере одно периодическое решение. Условие (5.63) имеет вид (для нашего случая).

т. е. условие (5.63) выполняется выше предельной точки.

Теория нелинейных колебаний содержит важную информацию о периодических решениях, возникающих за пределом устойчивости стационарного состояния. Если условие (С_в>1 + 4-С_л²) еще не достигнуто, то стационарное состояние (5.55) устойчиво и частоты до нормальных мод комплексны (имеем дело с устойчивым фокусом). В точке С_в=1+С_л² выполняется условие нейтральной устойчивости. Выше предельной точки С_в>1 + + С_л^г стационарное состояние (5.55) неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом (т. е. движение из любой начальной точки в пространстве С_х, С" со временем приближается к одной и той же периодической траектории). Нейтральной устойчивости на термодинамической ветви соответствует точка бифуркации, в которой происходит расщепление.

В [14] было проведено численное исследование модели (5.53). На рис. 5.9 изображены на фазовой плоскости С_х, С".

Рис. 5.9. Траектории, полученные численным интегрированием для.

/ — С_х=Су =0;

2 — С_х=Су=;

J — С_х—0. С_у=0;

4 — С_х=1, Су =*3.

траектории, полученные численным интегрированием кинетических уравнений при различных начальных условиях, соответствующих значениям С_л= 1, С_в=3. Видно, как начиная со стационарной точки система приближается к предельному циклу на плоскости С_х, С". Таким образом, через большой промежуток времени С_а(/), С_у(/) испытывают периодические незатухающие колебания. Характеристики этих колебаний, в том числе и частота, не зависят от начальных условий. Из каких бы состояний (С_х=С_у=0; С_Х=С_У = 1; С_х=10; С_у=0; С_х= 1; С_у=3) ни начиналось движение, через достаточно большой промежуток времени система всегда приближалась к одной и той же замкнутой траектории.

Приведем М’дели, приводящие к предельным циклам.