Использование метода производящих функций для расчета точного распределения ущерба в страховом портфеле

Обычно количество договоров в страховой компании очень велико, процесс свертки очень трудоемок, поэтому можно упростить задачу, если использовать производящие функции моментов^[1].

Производящей функцией моментов (Moment-generating function, MGF) случайной величины называется функция вещественной переменной t (функция с комплексным аргументом называется характеристической функцией и обладает подобными свойствами):

— для дискретных случайных величин с законом распределения

— для непрерывных случайных величин с плотностью.

Производящая функция полностью определяет случайную величину, по ней однозначно восстанавливается ее распределение. Совпадение производящих функций двух случайных величин означает совпадение их функций распределения.

Для нас самыми важными практически являются два свойства производящих функций:

1) начальные моменты к-то порядка случайной величины X равны значениям к-й производной от производящей функции в точке t = 0.

(3.2).

Поэтому математическое ожидание случайной величины равно:

(3.3).

а дисперсия:

(3.4).

Производящая функция моментов содержит в себе сведения обо всех начальных моментах («производит» моменты), также по ней можно определить функцию распределения, содержащую все сведения о случайной величине;

2) если случайные величины и - независимы, то производящая функция их суммы равна произведению их производящих функций:

 — независимы. (3.5).

Вычислению свертки функции распределения, рассмотренной в подразделе 3.2.1, соответствует перемножение производящих функций моментов.

Для целочисленных дискретных случайных величин существует еще более простой вариант подобной функции, которая называется производящей функцией (Probabilitygenerating function, PGF) неотрицательной целочисленной дискретной случайной величины и равна сумме ряда:

(3.6).

Производящая функция полностью определяет случайную величину, по ней однозначно восстанавливается ее распределение. Это легко видеть из разложения производящей функции в ряд Тейлора (Маклорена):

Коэффициент при zm и будет вероятностью р,".

Производящая функция целочисленной дискретной случайной величины обладает подобными рассмотренным выше важными свойствами, которые мы сможем использовать:

1) математическое ожидание и дисперсия случайной величины? выражаются следующим образом через 1-ю и 2-ю производные от производящей функции в точке 2=1:

(3.7).

(3.8).

2) если случайные величины и - независимы, то производящая функция их суммы равна произведению их производящих функций.

- независимы. (3.9).

Это важное свойство производящих и характеристических функций позволяет использовать их при построении точного распределения суммарного ущерба по портфелю вместо достаточно трудоемкой операции свертки.

ПРИМЕР 3.3

Вернемся к условиям примера 3.1 и решим задачу другим способом. Портфель страховой компании состоит из трех однотипных независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих:

• — гибель всего объекта, возможную с вероятностью 0,05, при которой выплаты составляют 2 000 000 у.е.;
• — разрушение главного агрегата объекта, вероятность которого оценивают как 0,1, и выплаты равны 1 000 000 у.е.

Требуется найти точное распределение суммарного ущерба по портфелю, используя метод производящих функций.

Решение

Итак, распределение ущерба по каждому из трех договоров с обозначением 1 ЕСС = 1 000 000 у.е., принимает простой целочисленный вид:

Производящая функция каждой из этих случайных величин равна согласно (3.6):

Используя (3.7) и (3.8) легко найти их математические ожидания и дисперсии.

Это совпадает с полученным нами в примере 3.1 значением математического ожидания.

Дисперсия случайной величины равна:

Как видим, производящая функция позволяет быстро и легко находить моменты случайной величины.

Но приступим к нашей основной задаче — построению закона распределения суммарного ущерба по портфелю.

Итак, наши риски по трем объектам по условию независимы, поэтому производящая функция их суммы равна произведению их производящих функций (3.9):

Полученная производящая функция суммы однозначно восстанавливает распределение суммарного ущерба: степени 2 показывают все возможные значения случайной величины, а коэффициенты при них — вероятности этих значений. Таким образом, можем записать суммарное распределение ущерба по трем договорам, которое полностью совпадает с полученным методом свертки в примере 3.1:

Pm	0,614 125.	0,21 675.	0,133 875.	0,0265.
Pm	0,7 875.	0,75.	0,125.

Далее применим метод производящих функций к неоднородному портфелю с разными рисками.

ПРИМЕР 3.4

Воспользуемся условиями примера 3.2. Портфель страховой компании состоит из трех независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих:

• — гибель всего объекта;
• — разрушение главного агрегата объекта.

Вероятности событий и выплаты при этом равны:

Необходимо найти точное распределение суммарного ущерба по портфелю X+Y+Z, используя метод производящих функций.

Решение

Портфель состоит из трех разных договоров страхования, но алгоритм построения распределения суммарного ущерба абсолютно такой же, как в примере 3.3. Для сокращения и удобства записи распределений так же, как в примере 3.2, введем обозначение одной единицы страховой суммы 1 ЕСС = 500 000 у.е. Тогда распределение ущерба по всем трем договорам примет простой целочисленный вид:

Для подсчета суммы трех случайных величин — составления закона распределения суммарного ущерба по портфелю — необходимо построить согласно (3.6) производящие функции всех трех случайных величин:

Риски по трем объектам по условию независимы, поэтому производящая функция их суммы равна произведению их производящих функций (3.9):

Полученная производящая функция однозначно восстанавливает распределение суммарного ущерба: степени z показывают все возможные значения случайной величины, а коэффициенты при них — вероятности этих значений. Таким образом, можем записать суммарное распределение ущерба по трем договорам, которое полностью совпадает с полученным методом свертки в примере 3.2:

• [1] Феллер В. Указ. соч.