Геометрические методы в школьном курсе математики

Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого метода являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.

В школьном курсе математики можно рассматривать следующие геометрические методы: метод длин; метод треугольников; метод параллельных прямых; метод соотношений между сторонами и углами треугольника; метод четырехугольников; метод площадей; метод подобия треугольников; тригонометрический метод (метод, основанный на соотношениях между сторонами и углами треугольника, выраженными через тригонометрические функции); метод геометрических преобразований.

Рассмотрим некоторые методы более подробно.

Метод площадей

Значимость метода площадей заключается в том, что он является предметом изучения и одновременно средством для изучения последующего материала. В основе данного метода лежит понятие площади. Метод площадей заключается в использовании формул и свойств площадей при решении задач, в условии которых может не упоминаться о площадях.

Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае получается уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, решая которое мы находим неизвестное.

Рассмотрим пример.

Стороны параллелограмма и его меньшая диагональ относятся как 10:21:17. Определите стороны параллелограмма, если его меньшая высота равна 16 см.

Рис. 235.

Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда.

Рассмотрим треугольник ABD: S_ABD = -BH-AD,.

Приравнивая различные выражения для одной и той же площади, получаем уравнение.

^[1][2]

• 2) вычисление неизвестного, используя свойство аддитивности;
• 3) составление отношений, основанных на свойствах площадей и выявление неизвестных из этих соотношений.

Для успешного овладения учащимися методом площадей необходимым условием является овладение теми базовыми фактами, которые лежат в его основе:

• • формулы площадей плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции и т. д.);
• • свойства, связывающие отношение площадей и отношения соответствующих отрезков, которые полезны для решения задач методом площадей.

Рассмотрим примеры задач, решаемых с использованием метода.

Задание 23.6.

Найти биссектрису CD прямого угла С в прямоугольном треугольнике ЛСВ с катетами АС = 2 и ВС = 3.

Вариант решения 1 (без использования метода площадей):

1) по теореме Пифагора АВ = IaC² +ВС² = VT3. Но АВ = AD + DB

" AD АС

2) по свойству оиссектрисы внутреннего угла треугольника — = —;

BD ВС

• 3) из равенства AD + DB = Vl3 получаем AD = — >ЛЗ;
• 5

/ч л _л АС 2

4) далее находим косинус угла A: cos А =-= —=;

вс чЯз.

• 5) остается применить теорему косинусов для определения сторо-
• 72

ны CD треугольника ACD: CD¹ = АС² + ВС² — 2AC AD-cosA = —,.

6 р;

CD = -V2.

Вариант решения 2 (с использованием метода площадей):

1) подсчитаем площадь треугольника АСВ разными способами.

• 2) приравнивая правые части двух полученных выражений для
• 6 г-

S_ACB> получаем CD = - у 2.

Решив задачу двумя способами, мы можем сделать вывод, что второе решение явно короче и проще для восприятия учениками. В этом решении для нахождения биссектрисы мы выражали площадь данного треугольника двумя способами.

Внутри правильного треугольника со стороной а взята произвольная точка М. Найти сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

Решение.

Надо найти сумму длин перпендикуляров МР, MQ и MR, опущенных из точки М на стороны А В, ВС и СЛ соответственно. Если соединить точку М с вершинами треугольника, то ясно, что

Рис. 23.6

Используя формулу для площадей правильного треугольника S =

а’Ч3.

=-и замечая, что.

немедленно получаем ответ: МР + MQ + MR = a^f32.

В рассмотренном примере мы использовали для решения методом площадей свойство аддитивности площади. Введя площадь как вспомогательный элемент, мы получили решение, которое отличается от часто встречающегося в практике (без применения метода площадей) своей простотой и изяществом. В задачах такого типа отрабатывается навык видоизменения изображения путем разбиения целого на части и включения этих частей в состав целого, что при решении задач работает на развитие пространственного воображения.

Применение метода площадей позволяет достаточно легко решать задачи, решение которых другими методами требует сложных рассуждений.

Метод площадей может использоваться не только при решении задач, но и при доказательстве некоторых теорем.

Приведем доказательство известной теоремы методом площадей.

Задание 23.8.

Докажите теорему: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону па отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Доказательство

1. Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 23.7), где BZ —

, AZ АВ

биссектриса угла В. Докажем, что — = —.

ZC ВС

Рис. 23.7.

Построим ZD А. ВС, ZK _L Л В, ВМ _1_ АС.

Так как точка Z лежит на биссектрисе угла В, то расстояния от точки Z до сторон угла равны. Пусть К/. = ZD = И.

3. Найдем площадь тех же треугольников другим способом:

Что.

" AZ АВ

4. Из проведенных преооразований следует, что — = —-. Что.

ZC ВС

и требовалось доказать.

Метод способствует развитию пространственного воображения, а также допускает аналогию в применении для решения планиметрических и стереометрических задач.

Ниже приведем пример решения стереометрической задачи методом объемов.

4. Из проведенных преобразований следует, что и требовалось доказать.

Задание 23.9.

Рис. 23.8.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD (с вершиной Р) сторона основания равна 2 и высо та равна 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости ВСР.

Рассмотрим треугольную пирамиду BCDP. Искомое расстояние d есть высота этой пирамиды, проведенная из вершины D.

Высота пирамиды BCDP, проведенная из вершины Р, совпадает с высотой РО исходной пирамиды.

Запишем формулу для нахождения объема пирамиды BCDP:

Также справедлива будет следующая формула:

Приравнивая правые части, получаем S_BCD? РО = S_BCP— d.

По условию РО = 1. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, находим S_BCD = 2.

Остается вычислить площадь треугольника ВСР. Его высоту РМ

найдем из треугольника РОМ:

Подставляя найденные величины в равенство S_BCD • РО = S_BCP • d, получаем

На основе рассмотренных задач можно выделить три основных приема при решении задач при помощи площади.

• 1. Основан на следующем факте: если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площадей равна площади исходного многоугольника.
• 2. Основан на следующем приеме: отношение длин отрезков можно заменить на отношение площадей треугольников.
• 3. Основан на применении различных формул для вычисления площади фигуры, которые позволяют получить соотношения между сторонами, высотами, периметром и т. д.

Метод геометрических преобразований

Метод геометрических преобразований в школьном курсе геометрии чаще используется как средство обоснования отношений между элементами евклидовой геометрии, например равенства, параллельности и т. д. Его применение обычно предполагает выполнение определенной последовательности шагов:

• • выбор геометрического преобразования, обладающего свойством, которое позволит обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;
• • выполнение преобразования, при котором один объект переходит в другой;
• • обоснование наличия указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

Для успешного применения этого метода необходима актуализация основных понятий теории геометрических преобразований.

Продемонстрируем реализацию выделенной последовательности действий на примере решения следующей задачи.

Задание 23.10.

На высоте BD треугольника АВС взята точка К такая, что АК = КС. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Заметим, что для доказательства необходимо обосновать равенство отрезков АВ и ВС.

Выберем геометрическое преобразование. В качестве такого преобразования целесообразно выбрать осевую симметрию относительно прямой ВК.

Докажем, что при этом преобразовании отрезок Л В перейдет в отрезок ВС.

Рис. 23.9.

При выбранном преобразовании точка В переходит в себя, так как она лежит на оси симметрии.

Так как KD — высота равнобедренного треугольника АКСу проведенная к основанию, то точка D — середина отрезка Л С. Поэтому при симметрии относительно прямой ВК точка А перейдет в точку С. Значит, отрезок СВ при симметрии относительно прямой ВК перейдет в отрезок Л В, т. е. Л В = ВС, значит, треугольник ЛВС равнобедренный.

К основным понятиям теории геометрических преобразований относятся: понятия отображения, преобразования, перемещения, обратного преобразования, способа задания геометрического преобразования, конкретные виды геометрических преобразований.

К общим свойствам геометрических преобразований относятся:

• • композиция движений есть движение;
• • преобразование, обратное движению, есть движение;
• • при движении, а также при преобразовании подобия прямые переходят в прямые, отрезки — в отрезки; при указанных преобразованиях сохраняются углы между прямыми;
• • при движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии рассматриваются как объект изучения и как основной инструмент метода.

• [1] Здесь проявляется основная особенность метода площадей — изгеометрической задачи мы получаем алгебраическую, сводя всек решению уравнения (а иногда и системы уравнений). Под методом площадей также понимается использование свойствплощадей при решении задач и доказательстве теорем. Расширение сведений о площадях за счет введения свойств отношений площадей позволяет расширить диапазон применения метода площадей. В основе метода площадей лежат следующие математическиефакты: • формулы площадей плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции и т. д.);
• [2] свойства, связывающие отношение площадей и отношения соответствующих отрезков, а также свойство аддитивности, которыеполезны для решения задач методом площадей. Можно говорить о том, что метод основывается на трех приемах: 1) выражение площади двумя способами и нахождение неизвестного из полученного уравнения;