Проверка гипотез с помощью распределения Фишера

Последний типичный вид статистических гипотез — это гипотезы на основе распределения Фишера (или «распределения Снедекора»). Оно напрямую связано уже не с нормальным распределением, а с распределением хи-квадрат.

Если V_x и V₂ — независимые случайные величины, распределенные, но х^[1] со степенями свободы к_л и k₂, то величина.

будет распределена по Фишеру со степенями свободы k_x и k₂^{:

Это распределение в основном используется для проведения анализа дисперсий (ANOVA — «Analysis of Variance»). Так, с помощью распределения Фишера можно проверить гипотезы о равенстве дисперсий в разных выборках или гипотезу о совместном равенстве нескольких случайных величин заданному числу. Это распределение активно используется в эконометрике при сравнении различных регрессионных моделей.

Рассмотрим один из типичных примеров, в котором с помощью этого распределения проверяется гипотеза.

Прогнозист построил две модели по 50 наблюдениям и рассчитал по ним дисперсии ошибок. В первой модели дисперсия ошибок составила Sy =470, во второй — s₂ ⁼500. У первой модели семь коэффициентов, у второй — четыре. На 1%-ном уровне прогнозисту нужно выбрать ту модель, которая дает наименьшую дисперсию ошибок при прогнозировании.

Сформулируем гипотезы. Стандартная формулировка выглядит следующим образом: Я₍₎: о] =а₂> Н_{: <�а₂.

Альтернативная гипотеза могла бы быть сформулирована и иначе (дисперсия первой модели больше дисперсии второй), но мы видим, что выборочная дисперсия первой модели меньше, чем второй, поэтому логично предполагать, что в «генеральной совокупности» такое соотношение может сохраниться.

Обычно при проверке гипотез все случайные величины переносятся в одну сторону, а неслучайные — в другую. Разделим в наших гипотезах левую и правую части на дисперсию второй модели. Тогда получим гипотезу в более привычном виде:

Кроме того, такая формулировка гипотез подсказывает нам, как рассчитать требуемую статистику. Если предположить, что ошибки в моделях распределены нормально, то из этого следует, что дисперсии в моделях будут распределены по у} с Т — k_x и Т — k₂ степенями свободы соответственно (где k_} — число коэффициентов в j-й модели). Отношение дисперсий, соответственно, будет в таком случае распределено по Фишеру. Рассчитаем это отношение:

В связи с тем, что альтернативная гипотеза заключается в том, что первая дисперсия меньше второй, мы должны отсечь левый «хвост» распределения Фишера, т. е. 99%-ный квантиль. Статистические таблицы обычно содержат статистики для общепринятых вероятностей: 1%, 5% и 10%. Для того, чтобы получить 99%-ный квантиль можно воспользоваться соотношением.

Число степеней свободы в числителе — 50 — 7 = 43. В знаменателе — 50 — 4 = 46. F (0,01; 46; 43) = 2,04, значит искомое критическое значение для 99%:

Сравнивая теоретическое значение (3.61) с расчетным (3.62), видим, что расчетное попало в область неотклонения нулевой гипотезы (в промежуток от 0,49 до бесконечности). Значит, по полученным данным нет оснований утверждать, что в первой модели дисперсия ошибок статистически значимо меньше, чем во второй, и вопрос выбора лучшей прогнозной модели так и не решен.

• [1] учеб, пособие для вузов. 7-е изд. М.: Высшая школа, 2001. С. 147.