Численные (компьютерные) методы решения системы нелинейных уравнений

Прямой метод исследования нелинейных динамических систем путем решения уравнений не имеет ограничений, поскольку он связан с решением нелинейного дифференциального уравнения методом Рунге — Кутты 4-го порядка. Однако не всегда возможно составить такое уравнение по нелинейным передаточным характеристикам систем с групповыми сигналами, поэтому метод используют редко. Методы интегро-дифференциальных уравнений целесообразно применять для исследований сложных нелинейных динамических систем с групповыми сигналами, учитывающих параметры анализируемого устройства.

Наиболее эффективным методом, позволяющим описать любую нелинейную динамическую систему и оценить закономерности прохождения через нее сигналов, является метод, основанный на решении нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений. Однако оценить комплексное влияние множества нелинейных эффектов, свойственных нелинейным динамическим системам, путем составления и решения системы нелинейных уравнений в широком интервале переменных весьма затруднительно.

Решения полных уравнений сложны, а решение упрощенных применимо лишь для слабой нелинейности и при малом числе входных сигналов. Решения выполняются для частных случаев, и метод не универсален, т. е. результаты решения не распространяются на подобные устройства. Поэтому приходится обращаться к математическим моделям нелинейных систем. В силу нелинейности моделей и ограниченных возможностей аналитических исследований такой анализ трудно провести без применения численных методов и компьютеров. Сочетание аналитических методов с расчетами на компьютере требует разработки адекватных математических моделей и ориентированного на них комплекса способов, алгоритмов и средств программной поддержки. Поэтому сейчас интенсивно развивается моделирование нелинейных динамических устройств с помощью систем компьютерной математики (СКМ).

Линеаризация — метод приближенного представления нелинейных систем, при котором их исследование заменяют анализом линейной системы, эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь при определенном режиме работы, а если система переходит из одного режима в другой, то следует изменить и ее линеаризированную модель. С точки зрения частотного спектра это сопровождается появлением высших гармоник, а иногда и частот, меньших в кратное число раз основной частоты, — субгармоник.

При использовании метода линеаризации анализ прохождения сигнала через нелинейную цепь сравнительно просто осуществить, если нелинейный элемент (НЭ) отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность НЭ означает мгновенное изменение отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Строго говоря, безынерционных НЭ не существует. Все НЭ — диоды, транзисторы, микросхемы и т. д. — обладают инерционными свойствами. Вместе с тем современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны, но своим частотным параметрам, и их можно идеализировать.

Большинство нелинейных электрических цепей и устройств с безынерционным НЭ определяются структурной схемой, представленной на рис. 5.1. Из этой схемы следует, что входной сигнал непосредственно воздействует на НЭ, к выходу которого подключен фильтр (линейная цепь). В этих случаях процесс в нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми операциями. В результате первой операции в безынерционном 11Э.

Рис. 5.1. Структурная схема нелинейного устройства.

происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного сигнала. Меняя параметры входных сигналов и используя различные НЭ и фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра и выделять нужные составляющие. К такой модели сводят многие схемы нелинейных систем.

Обычно нелинейные цепи характеризуют сложной зависимостью между входным сигналом u_ttX(t) и выходной реакцией u_nhlx(t)_} которую записывают как м_вых(0 =f (ujt.)).

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ в качестве воздействия рассматривают входное напряжение, а в качестве отклика — выходной ток /_вых(?), связь между которыми определяется нелинейной зависимо;

стью1_вых(?)=/(м_вх(?));

Это соотношение аналитически может представлять собой обычную ВАХ НЭ. ВАХ большинства НЭ имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями — трудная задача. Как правило, нс имеет большого смысла выбор систем анализа и обработки сигналов по высокоточным формулам, если снижение погрешности расчетов и соответствующее усложнение систем не дают ощутимого эффекта в повышении точности. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации — представление исходных сложных функций / (и) простыми и удобными для практического использования относительно простыми функциями i (u) таким образом, чтобы отклонение i (u) от /(и) было наименьшим по определенному критерию приближения.

Если анализ цепи необходимо проводить не численными, а аналитическими методами, то желательно подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая с требуемой точностью отражала бы все важнейшие особенности реальной характеристики. В теории связи используют несколько способов аппроксимации характеристик НЭ — степенную, показательную, кусочно-линейную и т. д.