Численное интегрирование уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы

Кроме приема, изложенного в предыдущем параграфе, дифференциальные уравнения движения масс можно проинтегрировать численно, что стало вполне доступно при наличии ЭВМ. При решении задач динамики методом конечных элементов, реализующим идеи метода перемещений, уравнения, записанные в матричной форме для момента времени t, имеют вид.

Здесь М, С, К — матрицы масс, демпфирования и жесткости; Y, Y_f> Y_r — векторы перемещений, скоростей и ускорений масс системы с конечным числом степеней свободы; R, — вектор, представляющий внешнее воздействие. В случае расчета по акселерограммам землетрясений.

где y₀(t) — заданное ускорение.

В отличие от предыдущего параграфа здесь введена матрица демпфирования. Видимо, впервые Рэлеем было сделано предположение, что затухание колебаний должно быть пропорционально массе и жесткости. Поэтому матрица С представляется следующим образом:

где а и b — коэффициенты пропорциональности, которые вычисляются по двум значениям коэффициентов демпфирования а_;, относящимся к колебаниям с двумя различными частотами [14]. Запись (6.21) удобна тем, что она допускает разложение решения, но собственным формам колебаний, как это было показано в параграфе 2.7 для матриц М и К.

Численное интегрирование уравнений выполняется путем итерационного процесса. В этих случаях всегда встает вопрос об устойчивости процесса. В работе [14] показано, что устойчивость процесса будет обеспечена при применении для перемещения на интервале времени At кубического полинома (см. рис. 6.4) при следующих значениях параметров, а и 3:

Для линейных задач обычно берутся граничные значения, а = 0,5; 3 = 0,25, которые обеспечивают наибольшую точность вычислений. Применение этих параметров будет показано ниже.

Другим важным фактором при итерационном процессе является выбор шага по времени At. Как уже отмечалось в параграфе 6.2, рекомендуется принимать At = 0,1 T_v где Т_{ — наименьший период собственных колебаний системы. Однако если влияние высших форм колебаний невелико, то шаг можно выбирать крупнее, что делает расчет более эффективным, но в любом случае желательно не более 0,5 Ниже приводится последовательность операций интегрирования при решении линейных задач [14].

Операция интегрирования включает в себя подготовительные вычисления и итерационный процесс. В подготовительные вычисления входят следующие этапы.

• 1. Выбор шага времени At и коэффициентов, а и р.
• 2. Вычисление постоянных коэффициентов:

• 3. Формирование матриц К, М, С и вектора R, — начального вектора внешнего воздействия. Эта операция выполняется обычными приемами строительной механики.
• 4. Построение начальных векторов Y₀, Y₀, Y₀. В излагаемой процедуре векторы Y₍₎, Y₀ могут быть произвольными, но проще всего принять некоторые из них равными нулю. Вектор начальных ускорений определяется из уравнений типа (6.20):

5. Вычисление так называемой динамической матрицы жесткости.

6. Обращение матрицы К_в.

На этом закапчиваются подготовительные вычисления. Далее следует процесс интегрирования, который не требует специальных пояснений.

7. Вычисление внешнего воздействия Н,_+д, для времени t + At через значения величин лля впемени /:

8. Определение вектора перемещений:

9. Вычисление вектора скоростей:

10. Определение вектора ускорений:

Затем переходят к следующему шагу по времени, начиная с и. 7, при постоянном значении At.

Процедуру интегрирования в ряде случаев, особенно при решении нелинейных задач, целесообразно построить в приращениях перемещений, как это показано в параграфе 6.2. С этой целью составим разность уравнений типа (6.20) для времени t + At и t:

Введем обозначения.

Подставим эти обозначения и выражения (6.25), (6.26) в данную разность и перепишем известные величины вправо:

Из уравнения (6.27) определяются приращения перемещений.

Введем новые дополнительные коэффициенты:

Последовательность интегрирования в рассматриваемом случае следующая.

• 1. Выбор шага времени At и коэффициентов, а и р.
• 2. Вычисление постоянных коэффициентов а_к, k = 0, 1,…, 7, по формулам (6.23) и (6.28).
• 3. Формирование матриц К, М, С.
• 4. Определение динамической матрицы жесткости

• 5. Обращение матрицы К₀.
• 6. Вычисление ДН, ,_ы. Если нагрузка постоянная, как в случае внезапного приложения постоянной силы, то вычисляется начальный вектор ускорений (6.24).

7. Вычисление ппавой части уравнения (6.27V.

8. Вычисление приращений перемещений.

9. Вычисление скоростей.

10. Вычисление ускорений.

Затем переходят к следующему шагу по времени, т. е. к п. 6. Если требуется, то на каждом шаге определяются перемещения: Y,_+&, = Y, + AY_t+Af. При решении линейных задач обе процедуры дают одни и те же результаты при одном и том же шаге времени At.