Сложение двоичных чисел с плавающей точкой

Пусть имеются два двоичных числа в форме с ПТ:

где Мд и Мв — мантиссы чисел А и В, рд и рв — их порядки; мантиссы и порядки записаны в двоичном виде.

Выполнение сложения чисел в форме с ПТ выполняется в три этапа:

• 1. Выравнивание порядков.
• 2. Сложение мантисс.
• 3. Нормализация результата.

Выравнивание порядков ставит целью уравнение значений порядков слагаемых. Оно достигается путем сдвига мантиссы числа с меньшим порядком вправо на количество разрядов, равное Ар = рд — рв при одновременном увеличении порядка на ту же величину. В процессе сдвига мантиссы меньшего ашгаыюго при выравнивании порядков вправо происходит потеря, младших разрядов. При этом может оказаться, что мантисса меньшего слагаемого полностью сдвигается за пределы разрядной сетки. Тогда результатом суммирования считается большее по модулю слагаемое.

Слоэ/сение мантисс выполняется как алгебраическое сложение мантисс по правилам для чисел в форме с ФТ. Мантиссы предварительно должны быть представлены в дополнительном коде. Порядок большего исходного слагаемого принимается равным порядку результата.

Нормализация результата выполняется, если в процессе суммирования нарушается нормализация результирующей мантиссы. В этом случае полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. Количество разрядов, на которое сдвигается мантисса, определяет количество разрядов, на которые уменьшается порядок. Если при сложении мантисс все разряды нулевые, то нормализация нс выполняется, порядок результата также устанавливается нулевым.

Пример 3.8. Сложить положительные нормализованные числа: А = 1 010 111 • 2^-1 и В = 1 101 101 • 2¹⁰ (порядки представлены в двоичной системе счисления).

Решение. Разность порядков слагаемых рл~Рв = 110−2 — (—Ь)| = Зю, поэтому мантисса числа А сдвигается на три разряда вправо. Мантисса числа А принимается 1 010 потеряны три младших разряда. Порядки выровнены: рл = рв = Ю2- В результате сложения имеем: 1 010 • 2¹⁰ + 1 101 101 • 2¹⁰ = 1 110 111? 2¹⁰. ?

Пример 3.9. Сложить нормализованные числа с разными знаками в дополнительном коде:

Решение. Разность порядков рл~Рв — 1, поэтому модуль мантиссы числа В сдвигается на один разряд вправо (10 111 010 — младший разряд теряется), порядок рв принимается равным единице, мантисса числа В представляется дополнительным кодом.

после чего выполняется сложение мантисс.

В знаковом разряде 0, поэтому результат положительный и алгебраическая сумма А + В = 10 011 • 2¹. Выполнив нормализацию суммы путем сдвига на два разряда влево, получим А + В = 1 001 100 • 2^-1. ?

Пример 3.10. Сложить нормализованные числа с разными знаками в дополнительном коде:

Решение. Разность порядков рл — Рв = В поэтому модуль мантиссы числа В также сдвигается на один разряд вправо (111 010 — младший разряд теряется), порядок рв принимается равным единице. Здесь мантисса отрицательного числа А представляется дополнительным кодом.

после чего выполняется сложение мантисс.

В знаковом разряде 1, поэтому результат отрицательный и представлен в дополнительном коде. ?