Агрегатные индексы. 
Статистика с элементами эконометрики

Агрегатными называются индексы, числитель и знаменатель которых представляют собой суммы, произведения или суммы произведений элементов в изучаемой совокупности. Поскольку данные характеристики представляют собой произведения двух величин, например д (физический объем) и р (цена), то одна из величин (индексируемая) меняется, а другая (вес) остается неизменной. Индексируемой величиной считается признак, который подлежит изучению, весом индекса является величина, которая необходима для соизмерения индексируемых величин. Благодаря этому агрегатные индексы дают общую характеристику динамики несоизмеримых, т. е. разнородных элементов совокупности.

Агрегатные (от лат. (Ц^дте^о — присоединяю) индексы выполняют две функции: синтетическую и аналитическую. Синтетическая функция агрегатных индексов заключается в изучении изменения совокупности, элементы которой несоизмеримы, т. е. их функция проявляется в агрегировании разнокачественных частей в целое. Аналитическая функция характеризуется взаимосвязью индексов. Любой индекс может рассматриваться как одна из составляющих определенной системы индексов. При необходимости возможно измерение вклада рассматриваемого индекса как одного из факторов на совокупное изменение изучаемой совокупности. Поэтому существует деление агрегатных индексов на динамические (простые, которые лишь констатируют динамику изучаемого явления) и аналитические, свидетельствующие о взаимосвязи данного признака с другими признаками разнородных явлений.

Экономическое содержание индекса предопределяет методику его расчета: определение индексируемой величины, выбор веса и состава элементов совокупности. При выборе веса руководствуются правилом: если формируется индекс количественного признака, то берутся веса базисного периода, в случае построения индекса качественных показателей в расчетах используются веса текущего периода. Рассмотрим построение индексов товарооборота, цены и физического объема (потребления).

Если цену за одну единицу совокупности умножить на физический объем произведенной или проданной продукции, то получим товарооборот (выручка, стоимость) как результативный показатель. Индекс товарооборота представляет собой отношение двух стоимостей, где в числителе берется рассчитанный показатель текущего периода, а в знаменателе — стоимость, где цены и физический объем определяются по базисным весам:

Допустим, стоимость набора товаров за отчетный период равна 8670 тыс. руб., а в базисном периоде — 8450 тыс. руб. Индекс стоимости будет равен 1,0260 (8670: 8450) или 102,60%. Таким образом, товарооборот от продажи продуктов увеличился в текущем периоде в 1,0260 раза, или он составил в текущем периоде по отношению к базисному 102,60%, г. е. увеличился на 2,60%. Если же изучается абсолютный прирост товарооборота, т. е. на сколько в абсолютном выражении увеличился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным, то следует найти разность между числителем и знаменателем, которая, но данному примеру будет равна 220 тыс. руб. Результат в 102,60% зависит от изменения физического объема продукции и цен, поэтому необходимо определить индексы этих показателей, что позволит узнать в какой степени результативный индекс зависит от индексов потребления и цен.

Индекс физического объема продукции (потребления) является индексом количественного показателя и показывает изменение физического объема производства в отчетном периоде по сравнению с базисным. Индексируемой величиной выступает количество продукции в натуральном выражении, а весом — цена. Чтобы агрегатный индекс потребления отражал изменение только физического объема, в качестве весов берутся неизменные цены отчетного либо базисного периода. В этом случае устраняется влияние изменения цен на динамику произведенной продукции. Воспользуемся принятыми обозначениями и представим формулу индекса физического объема (в числителе берется выручка продукции текущего периода по ценам базисного, а знаменателе — выручка продукции базисного периода):

Агрегатный индекс цен показывает общее изменение цен по элементам, входящим в изучаемую совокупность. Индекс цен является качественным показателем, цена выступает как индексируемая характеристика, а весом является физический объем произведенной продукции за отчетный период. В формуле индекса цен, если вес берется за базисный период, то его определение производится по формуле Э. Ласпейреса:

Методика расчета этого показателя была представлена в 1864 г. С ее помощью можно определить, во сколько раз товары базисного периода изменились бы (увеличились или снизились) в зависимости от изменения цен в отчетном периоде. В 1874 г. Г. Пааше разработал иную формулу индекса цен (вес берется за отчетный период и свидетельствует о том, на сколько товары в текущем периоде стали дороже либо дешевле, чем в базисном):

С 1991 г. государственная статистика РФ для изучения изменения цен чаще оперирует формулой Ласпейреса. Если индекс цены равен единице, то это свидетельствует о том, что в указанном году цепы были стабильны; если индекс цены больше единицы, то это свидетельствует о росте цен; в случае получения индекса цен меньше чем единица, считается, что происходит снижение цен. Обе методики построения индекса цен имеют право на применение, но в каждом случае надо учитывать задачу исследования и обеспечивать увязку индексов в систему, т. е. индекс товарооборота — как результативный, представляет собой произведение двух факторных индексов.

Допустим, товарооборот по определенному набору товаров составил 96,113%, т. е. уменьшился на 3,877%, при этом произошло увеличение средней цены набора продуктов на 6,650% (использовалась формула Ласпейреса), а физический объем уменьшился на 9,88%. Чтобы обеспечить увязку индексов в систему, физический объем производства или реализации должен быть рассчитан по формуле Пааше. Таким образом, должна соблюдаться взаимосвязь индексов:

Введенные надстрочные буквы П и Л обозначают сокращенные фамилии немецких ученых Пааше и Ласпейреса.

Отметим, что значения индекса цен имеют различные качественные особенности. Индекс цен, но формуле Ласпейреса свидетельствует о влиянии изменения цен на стоимость товаров, реализованных в базисном периоде. Индекс цен Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде. Поэтому индекс, рассчитанный по методике Ласпейреса, по своему значению выше, чем индекс цен Пааше. Соотношение двух индексов было определено и названо эффектом американского ученого Гершенкропа, который в 1930;х гг. занимался теорией индексов. Различие результатов, вызванных различными весами индекса цен Ласпейреса и индекса цен Пааше, было определено еще ранее В. И. Борткевичем (1868—1931) и рассчитывается по формуле.

где г,-; — коэффициент корреляции, определяющий степень связи между индивидуальными индексами; у_;>/ и — коэффициенты вариации индивидуальных индексов.

Полученная величина измеряет эффект совместного изменения факторов р и д.

Выбор расчета индекса цен или индекса физического объема (потребления) по формулам Пааше и Ласпейреса определяется несколькими причинами, например задачами и целями исследования, возможностью сбора необходимой информации и др. При нахождении индекса физического объема, характеризующего общее изменение индексируемого показателя, т. е. выполняющего задачи синтетической концепции, расчет производится чаще по формуле индекса Ласпейреса. В этом случае мировая практика расчета индексов физического объема отдает предпочтение именно ему. По формуле Ласпейреса возможно и определение индекса потребительских цен, поскольку в этом случае важным является расчет динамики цен при неизменной структуре. Ниже приведен пример расчета агрегатных индексов (табл. 13.2).

Агрегатный индекс стоимости (товарооборота, выручки) рассчитывается как отношение фактических стоимостей:

Результат свидетельствует об увеличении стоимости продукции на 26,62%. Если рассмотреть результаты индивидуальных индексов, то по товару «Д» стоимость увеличилась на 33,33%, а по товару «К» на 22,36%. Поскольку агрегатный индекс является сводным, формирующимся на основе данных двух продуктов, то он численно находится между индивидуальными индексами.

Динамика цен и количество товаров в 2011 и 2012 гг.

Таблица 13.2

Агрегатный индекс физического объема, рассчитанный по формуле Ласпейреса:

свидетельствует о том, что физический объем (выпуск товаров) в 2012 г. составил 113,43% и увеличился на 13,43%. Такая динамика объясняется тем, что произошло увеличение выпуска продукции по товару «Д» на 8,33%, а по товару «К» — на 16,66%. Агрегатный индекс физического объема может определяться и по формуле Пааше.

Агрегатный индекс цены, определенный по формуле Пааше:

показывает увеличение цены на 11,62%. В этом случае также происходит увеличение цен по товару «Д» на 23,08% и на 4,88% по товару «К».

Агрегатный индекс цены, рассчитанный по методике Ласпейрсса:

свидетельствует, что в 2012 г. по сравнению с 2011 г. цена на оба товара в целом увеличилась на 11,94%. Надо заметить, что индексы цены, рассчитанные по методике Ласпейреса больше по своей величине чем индексы, определенные по методике Пааше. Возникает вопрос: какому из этих индексов надо отдать предпочтение? Для получения однозначного ответа ученые разработали свои схемы расчетов.

В начале XX в. американский ученый И. Фишер предложил формулу средней геометрической из произведения индексов цены Пааше и Ласпейреса, которая позднее получила наименование «идеального» индекса цен, поскольку удовлетворялось такое важное требование как инвариантность — независимость от выбора базы сравнения:

Но геометрическая форма расчета индекса имеет существенный недостаток, поскольку для его расчета необходимы ряды индексов цен Ласпейреса и Пааше, что представляет собой определенные трудности при сборе и обработке информации. Наравне с индексом Фишера существует индекс цен Торнквиста, рассчитываемый также по формуле средней геометрической взвешенной, где в качестве весов выступают среднеарифметические значения долей стоимости товарной группы в базисном и текущем периодах.

Формула цены Фишера получила практическое использование в международных сопоставлениях ВВП; раньше она применялась в расчетах индексов цен, проводимых Конъюнктурным институтом народного комиссариата финансов и ЦСУ СССР.

Кроме индекса Фишера был предложен ряд модификаций построения индексов цены с целью получения однозначного результата. Э. Маршаллом была предложена формула индекса цены, где весом бралась сумма физического объема за базисный и отчетный годы. Экономист Дж. Лоу, занимающийся проблемами изучения динамики цен, предложил свой вариант расчета:

где + <7])/2 представляет собой среднюю величину физического объема производства или реализации продукции.

Данный индекс применяется при расчетах за длительный период времени, в случае если появляется необходимость определения динамики цен на закупку либо реализацию товара. Он также позволяет анализировать цены с учетом тех ассортиментных сдвигов в составе товаров, которые могли произойти за относительно длительный период времени.

Итак, расчет индекса товарооборота и факторных индексов может проводиться по двум методикам расчета.

В первом случае индекс товарооборота равен произведению, где индекс цены рассчитан по формуле Ласпейреса, а индекс потребления — по формуле Пааше:

По втором случае индекс товарооборота равен произведению индекса цены по методике расчета Пааше, а индекс потребления берется по форм}'ле Ласпейреса:

В настоящее время в зависимости от целей и задач исследования, а также от наличия информационного обеспечения применяются обе приведенные методики расчета, но поскольку больший интерес представляет фактическое изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, а также фактическая экономия (от снижения цен) или перерасход (от повышения цен), то индекс цен чаще рассчитывается по формуле Пааше, а индекс физического объема — по формуле Ласпейреса.

Определенный интерес представляют абсолютные приросты результативного и факторных признаков. На основе проведенных расчетов определяются абсолютные приросты как разность между числителем и знаменателем. Данные абсолютные разности свидетельствуют об изменении стоимости товаров (результативный признак) и об изменении стоимости товаров за счет физического объема выпуска продукции и цен (факторные признаки). Расчет абсолютных приростов можно определять как в целом по совокупности товаров, так и по каждому виду товаров. Ниже приведены формулы расчета абсолютных приростов показателей.

Расчет абсолютного прироста результативного показателя (стоимости товаров) производится по формуле.

абсолютного прироста стоимости товаров за счет изменения физического объема по формуле.

абсолютного прироста стоимости товаров за счет динамики цен по формуле

В табл. 13.3 приведен расчет абсолютных приростов, которые характеризуют динамику рассматриваемых показателей на основе данных табл. 13.2.

Таблица 133

Распределение абсолютных приростов в зависимости от вида продукта.

Данные таблицы свидетельствуют о том, что в целом прирост, равный 214 тыс. руб., распределяется на почти равные части в зависимости от физического объема (108 тыс. руб.) и цены (106 тыс. руб.). Но если изучать абсолютные приросты стоимости в зависимости от вида продукта, то в рамках физического объема имеем 75,93% за счет выпуска продукта «К» и 24,07% от прироста в 108 тыс. руб. При рассмотрении абсолютных приростов стоимости за счет динамики цены 73,58% прироста стоимости привносит продукт «Д», и 26,42% — продукт «К» от общего прироста в 106 тыс. руб. Продукты «Д» (48,60%) и «К» (51,40%) по «вкладу» в общую величину абсолютного прироста (214 тыс. руб.) составляют примерно одинаковые суммы.

Итак, при изучении динамики абсолютных приростов можно проводить горизонтальный и вертикальный статистический анализ, который заметно дополняет общую характеристику исследования. Если провести сопоставление двух агрегатных индексов цены по разным методикам расчета, т. е. найти соотношение индекса Пааше и индекса цены Ласпейреса, то определяется индекс ассортиментных сдвигов. Формула имеет следующий вид:

Полученный результат будет свидетельствовать о дополнительном изменении цены за счет ассортиментных сдвигов.