Моделирование случайной величины с произвольным законом распределения

Методы формирования псевдослучайных чисел с заданным законом распределения основаны на использовании генераторов равномерно распределенных случайных величин. При этом наибольшее распространение получили следующие методы:

• • аналитический (метод обратной функции);
• • табличный;
• • метод композиций, основанный на функциональных особенностях генерируемых распределений.

Аналитический метод заключается в построении математической зависимости, связывающей значения случайной величины с заданным законом распределения со значениями случайной величины, распределенной равномерно в интервале (0; 1).

В основе аналитического метода лежит, как правило, метод обратной функции, который позволяет при моделировании случайных величин учесть все их статистические свойства.

Метод основан на следующей теореме.

Теорема 3.1. Если непрерывная случайная величина Y имеет плотность распределения вероятностей /(у), то распределение случайной величины

равномерно в интервале (0; 1), т.е.

По определению, F (y) является функцией распределения случайной величины Y.

Теорема может быть проиллюстрирована графиками, представленными на рис. ЗЛО.

Рис. ЗЛО. Иллюстрация к методу обратной функции Обозначим: х_; — г-е число из у ~ Rav (0; 1) равномерного распределения, у; — ?-е случайное число из произвольного распределения.

Из формулы (3.1) следует.

Моделировать равномерно распределенное случайное число х, мы уже умеем. Нужно найти неизвестное у,-, находящееся в верхнем пределе интегрирования.

Относительно у, выражение принимает вид.

Отсюда и название — «метод обратной функции».

Пример 3.6.

Требуется получить формулу для моделирования случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону, с параметром А, (математическим ожиданием 1 /а).

Решение

Плотность/(у) и функция F (y) этого распределения имеют вид (рис. 3.11):

Имеем.

Рис. 3.11. Плотность и функция экспоненциального распределения.

Поскольку случайная величина (1 -х,) имеет равномерное распределение в интервале (0; 1), как их, то справедливо.

Достоинства аналитического метода:

• • высокая точность метода;
• • не требуется составления и хранения в памяти таблиц, как в табличном методе.

Недостатки аналитического метода:

• • метод распространяется только на функции, которые позволяют вычислить интеграл от функции плотности аналитически;
• • использование численных методов вычисления неберущихся интегралов приводит к погрешностям и большим затратам машинного времени;
• • выражение, используемое для вычислений, содержит в себе функции вычисления логарифмов, возведения в степень, вычисления радикалов, что требует значительных затрат машинного времени.

Табличный метод. В современных системах моделирования применяется приближенный метод обратной функции, основанный на кусочно-линейной аппроксимации функции распределения моделируемой случайной величины.

Суть метода заключается в следующем.

Требуемый закон распределения случайной величины размещается в памяти компьютера в виде таблицы, содержащей координаты функции распределения. Каждая координата состоит из случайного числа y_t и соответствующего значения функции распределения F (y,):

Чем больше координат, тем точнее будет моделирование. Приемлемая точность обеспечивается заданием 20—30 координат.

При обращении за очередным случайным числом нужного закона распределения сначала генерируется случайное число из Rav (0; 1). Это число сравнивается со значениями Р (у_к), к = 1, …, п. При совпадении выдается соответствующее случайное число у_к.

Если нет совпадения, то случайное числом вычисляется из подобия треугольников, как показано на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Иллюстрация к методу кусочно-линейной аппроксимации.

Из подобия треугольников АВС и АВ’С следует:

Отсюда лох, ~ Rav (0; 1) находится значение у,.

В ранних версиях GPSS использовались табличные генераторы для формирования случайных чисел, распределенных по экспоненциальному и нормальному законам, описываемые в виде функций, например XpDis и SNorm соответственно:

4/1,5.

Представленные в XpDis значения функции F (x) и х (24 координаты) соответствуют экспоненциальному распределению с математическим ожиданием, равным единице. Если математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной величины отличается от единицы, то полученное значение случайной величины умножается на значение математического ожидания.

Значения функции распределения F (x) изменяются от 0 до 0,9998, а соответствующие им значения случайной величины х — от 0 до 8. Отсюда ясно, что получаемое от генератора случайное число может быть больше среднего значения (математического ожидания) в восемь раз.

В генераторе нормально распределенных случайных чисел значения случайной величины могут меняться только в интервале от -5 до +5, хотя теоретически могут лежать в пределах от до +"> (25 координат). Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение генерируемого нормального распределения должно быть как минимум в пять раз меньше математического ожидания. В противном случае от датчика может быть получено отрицательное число, что не имеет физического смысла.

Достоинства табличного метода:

• • существует принципиальная возможность построения таблицы для формирования случайных последовательностей с любым законом распределения, в том числе полученного экспериментальным путем;
• • можно обеспечить любую заданную точность генерирования случайных чисел за счет увеличения количества интервалов табуляции (уменьшения шага табуляции);
• • для генерирования случайных величин с заданным законом распределения вероятностей требуются только генератор равномерно распределенных случайных чисел и выполнение несложных операций, занимающих мало времени.

Недостатки табличного метода:

• • значительные затраты памяти для хранения большого числа таблиц с разными законами распределений;
• • наличие методической погрешности, обусловленной применением линейной интерполяции для определения значений случайных чисел, находящихся между узлами табуляции;
• • для уменьшения методической погрешности формирования случайных последовательностей при использовании линейной интерполяции следует увеличивать количество точек табуляции, что приводит к увеличению размера таблиц и, как следствие, к дополнительным затратам памяти и времени;
• • в связи с неодинаковой скоростью изменения функции распределения для обеспечения высокой точности формирования случайных последовательностей табулирование должно выполняться с переменным шагом, выбор которого связан с определенными проблемами.

Значительную роль в моделировании играет случайная величина, имеющая нормальное распределение. Метод обратной функции в аналитическом виде здесь неприемлем, так как интеграл (3.1) неберущийся, а его численное решение громоздко.

Для генерации случайных чисел, подчиненных нормальному распределению, применяется метод обратной функции с кусочно-линейной аппроксимацией, как было показано выше, а также метод, основанный на центральной предельной теореме (ЦПТ) теории вероятностей.

Как известно, ЦПТ дает теоретическое объяснение подтвержденному практикой наблюдению: если исход случайного события определяется большим числом случайных факторов и влияние каждого фактора мало (ни один из факторов не имеет превалирующего значения), то такой случайный исход хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Эта теорема имеет много формулировок. Одна из наиболее практичных для целей моделирования случайных последовательностей — теорема Леви — Линдеберга.

Теорема 3.2. Случайная величина

N.

где — сумма N случайных чисел одного и того же распределения

i=i.

с математическим ожиданием М (х) и дисперсией D (x) при N —> °° асимптотически стремится к нормальному распределению с М[ц] = 0 и дисперсией D® = 1.

Теорема не накладывает условий на вид распределения, из которого берутся случайные числа Поэтому удобно случайные числа брать из рассмотренного датчика равномерно распределенных случайных чисел у ~ Rav (0; 1). В этом случае М (у) =—, D (y) = —.

Хорошее приближение к нормальному распределению получается уже при числе N = 6. Каждое случайное число при N — 6 генерируется так:

Недостаток способа состоит в том, что он неэкономичен, так как для генерирования одного случайного числа у, требуется шесть случайных чисел из распределения у ~ Rav (0; 1).

В ряде случаев применяют еще более неэкономичные датчики с числом N = 12. Тогда

Если датчик случайных чисел нормального распределения формирует стандартную последовательность чисел с М = 0, а = 1, то последовательность нормального распределения с произвольными значениями его характеристик получается по формуле.

где т — требуемое значение математического ожидания; а — требуемое значение среднего квадратического отклонения; у- — случайное число из нормального распределения с математическим ожиданием т и средним квадратическим отклонением а.

При этом еще раз обратим ваше внимание на то, что среднее квадратическое отклонение должно быть как минимум в пять раз меньше среднего значения.

В современных системах моделирования, как уже отмечалось, имеются встроенные датчики, позволяющие непосредственно получать нужную случайную величину с требуемыми значениями характеристик. Однако если исследователя эти возможности не удовлетворяют (например, по точности представления функции распределения вероятностей), то он может задать требуемый закон распределения самостоятельно.