Представление в пространстве состояний. 
Некоторые математические сведения

В этой книге при рассмотрении большинства задач уравнения системы управления представляются в нормальной форме. Поэтому первые два параграфа посвящены вопросам преобразования дифференциальных уравнений в нормальную форму. Далее рассматриваются такие общие вопросы теории автоматического управления, как управляемость, стабилизируемость, наблюдаемость, восстанавливаемость, канонические формы уравнения. В связи с каноническими уравнениями рассматривается так называемое модальное управление. Кроме того, для удобства приводятся некоторые сведения из математики, которые необходимы для изучения последующих глав.

Уравнение системы в нормальной форме

Если уравнения системы разрешены относительно старшей производной, то их всегда можно преобразовать к системе уравнений 1-го порядка. Например, пусть система описывается уравнением.

Его можно преобразовать к виду.

(п 1).

где Xi = х, Х2 = х, …, х_п = х .

Аналогичное преобразование можно произвести, когда система описывается несколькими уравнениями. Пусть, например, система описывается уравнениями

Их можно преобразовать в следующую систему уравнений 1-го порядка:

Здесь xi =2/ь Х2 = 2/ь х₃ = у_и х₄ = 2/2, х₅ = У2-

В общем случае уравнения управляемой системы можно представить в виде Здесь xi, X2,…, x_n — фазовые координаты, или фазовые переменные; Ui, ti2) • • • ?^иг — управляющие параметры, или управления; г/1,2/2,…, у_т — выходные переменные; t — время.

Уравнения, записанные в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной, называются нормальной формой Коши или просто нормальной формой.

В векторной форме приведенные уравнения принимают вид.

Здесь х называют фазовым вектором или вектором состояний, и — вектором управления или просто управлением, а также входной переменной или просто входом, у — выходным вектором или просто выходом. Множество всех векторов состояний (фазовых векторов) называют пространством состояний или фазовым пространством.

Уравнение (1.1а) называют уравнением состояния, а уравнение (1.16) — уравнением выхода или уравнением наблюдений.

В этой книге всюду вектор рассматривается как вектор-столбец. Так что имеем.

где Т обозначает операцию транспонирования. Вектор также будем рассматривать как матрицу-столбец.

Если вход и выход системы являются скалярными величинами, то такие системы называют одномерными. Если хотя бы одна из указанных переменных является векторной, то такие системы называют многомерными.