Разработка алгоритмов. 
Решение систем линейных уравнений с помощью метода Зейделя

Для разработки алгоритма модификации метода Зейделя, для начала сопоставим его с методом простой итерации:

.

,…,-неизвестные, которые подлежат определению из системы (3.1).

(3,1').

,.

(3.2').

— задает (начальный вектор).

,…, .

.

Основная задача: Найти вектор такой, что Метод простой итерации.

Метод Зейделя.

Систему (4.4) перепишем в матричной форме:

(3.5).

где матрицы и определяются равенством.

.

Систему (3.5) разрешив относительно, имеем.

(3.6).

Таким образом метод Зейделя решения системы (3.2) эквивалентен методу простой итерации для решения системы.

(3.7).

.

Далее изучим вероятности сходимости на примере системы двух линейных уравнений.

Для системы (3.8) метод простой итерации (3.3) сходится, когда корни, характеристического многочлена.

;

(3.9).

удовлетворяют условиям.

. (3.10).

В переменных элементах матрицы.

условие (3.10) имеет вид.

(3.11).

Приведенное утверждение мы принимаем для исследования сходимости метода Зейделя.

Для системы (3.8) рассмотрим метод Зейделя.

и соответствующий итерационный процесс.

В итерационном процессе (3.13) матрица системы имеет вид:

. (3.14).

Вычислим характеристический многочлен этой матрицы:

Итак.

. (3.15).

Теперь рассмотрим для системы (3.8) метод Зейделя в следующей форме:

Итерационный процесс (3.16) эквивалентен следующему.

Матрица системы (3.17) имеет вид:

Вычислим характеристический многочлен этой матрицы:

Итак.

Характеристические многочлены (3.15).

равны. Делаем вывод, что в системах с двумя уравнениями, от перестановки уравнений местами, скорость сходимости не меняется.

Далее перейдем к изучению сходимости метода Зейделя для системы трех уравнений:

Исходя из начального вектора построим последовательность векторов согласно формулам:

Равенства (3.20) в векторной форме имеют вид:

Матричное равенство (3.21) умножаем на матрицу.

.

Для описания всевозможных случаев применения метода Зейделя к решению системы (3.19) опишем метод построения матриц Р, которые имеют в каждой строке и в каждом столбце по одному не нулевому элементу, равному 1.

Пусть перестановка чисел (1, 2, 3). Например, может быть одна из перестановок (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Элементы матрицы Р определим по формуле.

Например,, ,. Тогда.

При, , имеем.

Заменим в системе (3.19):

.

получим систему:

(3.22).

Теперь перейдем к построению всех возможных матриц P, имеющих в каждой строке и в каждом столбце по одному не нулевому элементу.

Имея матрицы:

Можно их перемножить, но в случае умножения данных матриц, выполняется условие.

(3.23).

Перемножив матрицы, А и В получаем матрицу.

которая является единичной матрицей.

Далее распишем всевозможные варианты матриц Р:

,.

.

Перемножая между собой матрицы, ,, , и, и получая аналогичные, заполним таблицу 3.1:

,.

,.

,.

,.

,.

,.

,.

,.

,.

,.

,.

,.

Таблица 3.1 Возможные матрицы Р и их произведения друг на друга.

.

,.

,.

.

Скорость сходимости метода Зейделя определяется наибольшим по модулю собственным значением матрицы системы (если рассматривать системное уравнение, то для скорости сходимости метода итерации.

Определяется величиной, где — собственное значение матрицы). Число (возможно комплексное) называется собственным значение матрицы, если уравнение.

;

имеет ненулевое решение; Это ненулевое решение называется собственным вектором матрицы .