Векторные диаграммы на комплексной плоскости

На комплексной плоскости (рис. 3.2) вектор представляют комплексным числом соответственно в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

где А = у}а² +b², tga = -.

а

Рис. 3.2. Изображение комплексных величин на комплексной плоскости

Принимая, а = со? + (р, получим.

Таким образом, косинусоидально изменяющийся ток можно представить как вещественную часть комплексного числа:

При изменении времени t вектор I_me^^ot+^ будет вращаться на комплексной плоскости против часовой стрелки. При этом гармонический ток будет равен проекции этого вращающегося вектора на ось +1. Если возникает необходимость суммировать два гармонических тока.

то их целесообразно изобразить двумя вращающимися векторами, представив их также и в комплексной форме (рис. 3.3), затем определить их сумму в комплексной форме.

и взять вещественную часть от полученного комплексного числа ц + i₂ = = Rе[1_те^⁺^]. На графике это соответствует геометрической сумме двух векторов.

Рис. 33. Суммирование комплексных величин

Отметим, что при изменении времени t все векторы будут поворачиваться, не изменяя взаимного положения друг относительно друга. Это дает основание для того, чтобы в большинстве случаев не учитывать это вращение, а строить векторные диаграммы, учитывающие взаимное положение векторов при t = 0 = const. При этом каждый ток будет представлен комплексной амплитудой.

Формально такие же значения будут присутствовать в уравнении напряжений, если левую и правую части разделить на Если еще разделить обе части этого уравнения на л/2, то вместо амплитуд будут действующие значения токов в комплексной форме записи. Их называют комплексами токов и обозначают с точкой вверху:

Аналогично можно записать комплексы напряжения и ЭДС:

Пример 3.1.

Известен комплекс тока /= 3 + jA. Записать мгновенное значение тока. Решение. Записываем сначала комплекс тока в показательной форме.

_ yarctg;

/ = vЗ² + А¹е ⁸³ = 5e^j53, затем умножаем его на 42е^)Ы и берем вещественную часть:

Пример 3.2.

Известны мгновенные значения напряжений и_л = 311cos (314? + л/6), и₂ = = 220cos (314? + я/4). Определить сумму напряжений.

Решение. Записываем комплексные амплитуды напряжений U_m = 311с^/30, U_m = 220с^;Ъ. Тогда комплексная амплитуда суммарного напряжения равна.

Умножаем комплексную амплитуду на е^ш* и берем вещественную часть: