4 Решение нелинейной алгебраической задачи

Метод установления. После построения разностной схемы получаем систему нелинейных уравнений большой размерности и возникает проблема разработки эффективных методов для её решения. Одним из широко применяемых методов решения систем разностных уравнений, возникающих при дискретизации стационарных нелинейных задач для уравнений в частных производных, является метод установления [4]. Суть его заключается в следующем: задаются некоторые начальные условия, а затем решается нестационарная задача, решение которой при t®Ґ стремится к решению исходной стационарной задачи. Поскольку при решении стационарных задач интерес представляет лишь предельное при t®Ґ решение нестационарной задачи, то величина шага по времени выбирается только из соображений устойчивости и наибольшей скорости сходимости алгоритма, т. е. величина шага по времени является итерационным параметром, регулирующим сходимость метода. Рассмотрим метод следущий для решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**) [1]:

• (D^hrj ^l+1)_k= -p_k^l+n_k^l-N_k (3.21)
• ((D_nj ^l+1)n^l+1)_k=R (p_k^l, n_k^l) +, (3.22)
• ((D_pj ^l+1)p^l+1)_k=R (p_k^l, n_k^l) +, (3.23)

где l=0,1,2… -номер итерации, t-итерационный параметр;

n⁰, p⁰-заданные начальные приближения. Таким образом алгоритм следующий:

• 1. Считаем правую часть известной с предыдущей итерации и решаем систему линейных уравнений (3.21) с соответствующими краевыми условиями. в результате определяем j ^l+1 .
• 2. Считаем j ^l+1 и R (p^l, n^l) известными и решаем систему линейных уравнений (3.22) и (3.23) .В результате определяем n^l+1, p^l+1.
• 3. Полагаем l=l+1 и переходим к пункту 1.

Итерации заканчиваются, если изменения j, n и p на двух последовательных итерациях достаточно малы.

Этот метод может быть эффективно использован лишь для приборов с (Nd+Na)<=10¹⁷см^-3

Другой вариант метода установления .

Отличие от предыдущего метода состоит в том, что в правую часть уравнения Пуассона введена разностная производная потенциала j по времени.

(D^hrj ^l+1)_k= -p_k^l+n_k^l-N_k + (3.24).

Скорость сходимости этого метода выше чем, метода (3.21)-(3.23), однако этот метод также неэффективен для структур с (Nd+Na) «10²⁰см^-3.

Методы линеаризации для решения нелинейной системы разностных уравнений .

Рассмотрим другую группу методов решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**). Эти методы значительно более эффективны, чем методы установления, и широко применяются в практике расчётов полупроводниковых приборов.

Общая идея, положенная в основу данных методов, заключается в той или иной линеаризации исходной системы уравнений. Впервые метод такого типа был предложен Гуммелем.

Рассматривая задачу (*)-(**), предположим, что нам известно l-е приближение к решению системы: j^l, n^l, p^l.Проведя ряд преобразований [1] получим :

• (D^hrj^l+1)_k=n_k^l-p_k^l-Nd_k+Na_k+(n_k^l+p_k^l)(j_k^l+1-j_k^l) (3.25)
• (D_nj ^l+1)n^l+1)_k-p_k^lr (p_k^l, n_k^l)n_k^l+1=-(n_ie²)_kr (p_k^l, n_k^l) (3.26)
• (D_pj ^l+1)p^l+1)_k-n_k^lr (p_k^l, n_k^l)p_k^l+1=-(n_ie²)_kr (p_k^l, n_k^l) (3.27)

r (p, n)= +C_nn+C_pp.

Методы решения каждой из линейных систем уравнений, т. е. для определения j ^l+1, n^l+1, p^l+1 _, будут рассмотрены позже.

Можно привести пример ещё двух подобных методов, отличающихся от предыдущего видом лианеаризованного разностного аналога уравнения Пуассона :

• (D^hrj^l+1)_k=n_k^l-p_k^l-Nd_k+Na_k+(n_k^l+p_k^l)(j_k^l+1-j_k^l)/t_k (3.28)
• (D^hrj^l+1)_k=n_k^l-p_k^l-Nd_k+Na_k+(n_k^l/a_k^l+p_k^l/b_k^l)(j_k^l+1-j_k^l) (3.29)

a_k^l=(j_k^l-j_k^l-1)/ln (n_k^l/n_k^l-1); b_k^l=(j_k^l-j_k^l-1)/ln (p_k^l/p_k^l-1);

Итерационный процесс (3.29),(3.26),(3.27) будем называть методом 1, итерационный процесс (3.25),(3.26),(3.27)-методом 2, итерационный процесс (3.28),(3.26),(3.27)-методом 3. Метод 3 во многих случаях более эффективен, чем 1 и 2, и обладает более высокой скоростью сходимости. Другой подход к решению системы нелинейных разностных уравнений также основанный на линеаризации, связан с методом Ньютона. Запишем в виде.

(D^hrj)_k-n_k+p_k=-Nd_k+Na_k

F_k(j_k-1, j_k, j_k+1, j_k-m, j_k+m, n_k-1,… n_k+m, p_k-1, p_k, p_k+1, p_k-m, p_k+m)=0,.

G_k(j_k-1, j_k, j_k+1, j_k-m, j_k+m, n_k-1,… n_k+m, p_k-1, p_k, p_k+1, p_k-m, p_k+m)=0,.

Линеаризуя (3.30) и (3.31) в окрестности известного l-го приближения, получаем, что, для определения l+1 приближения неоходимо решить систему линейных уравнений.

(D^hrj^l+1)_k-n_k^l+1+p_k^l+1=-Nd_k+Na_k

_{h=k-1,k, k+1}[ j_h^l+1+ n_h^l+1+ p_h^l+1]+.

с соответствующими краевыми условиями. Таким образом, на каждом шаге метода Ньютона необходимо решить линеаризованную систему линейных уравнений (3.32) .После того, как эта система решена, пологаем l=l+1 и переходим к определению следующего приближения. Достоинством данного алгоритма является высокая (квадратичная) скорость сходимость. Следует отметить, что реализация метода Ньютона требует значительно больших затрат оперативной памяти по сравнению с методами 1−3.

На каждом шаге итерационного процесса в методах линеаризации 1−3 необходимо решить три системы эллиптических разностных уравнений большой размерности. Прямые методы их решения громоздки и требуют больших вычислительных затрат. Поэтому, как правило, используют итерационные методы. Методам решения эллиптических разностных уравнений посвящена обширная литература [4][5]. Рассмотрим наиболее широко применяющиеся методы решения этих уравнений.

Матрицы систем разностных уравнений (3.25), (3.28) и (3.29) (линеаризованное уравнение Пуассона) имеют сильное диаганальное преобладание, и их числа обусловленности (отношение максимального собственного значения матрицы к минимальному) невелики.

Поскольку числа обусловленности невелики, то нахождение решения указанных систем разностных уравнений не вызывает затруднений. Обычно используется метод поточечной верхней релаксации.

Определение решений разностных аналогов уравнений неразрывности для электронов и дырок является значительно более трудной задачей. Коэффициенты этих уравнений зависят от потенциала электрического поля, который сильно меняется по структуре прибора. Данное обстоятельство приводит к плохой обусловленности (большим числам обусловленности) разностных уравнений. В связи с этим использование методов простой итерации и Зейделя [4][5], скорость сходимости которых обратно пропорциональна числу обусловленности, для решения разностных аналогов уравнений неразрывности требует очень больших вычислительных затрат.

Значительно более высокую скорость сходимости имеют метод верхней релаксации [3], метод переменных направлений и итерационный метод Чебышева [4]. Однако эффективность этих методов в случае плохо обусловленных систем разностных уравнений существенно зависит от выбора специальных итерационных параметров. Оптимальные значения указанных параметров определяются по некоторой априорной информации об исходной матрице разностных уравнений (обычно требуются довольно точные оценки максимального и минимального собственных значений матрицы). Коэффициенты уравнений неразрывности, а значит, и собственные значения матрицы сильно меняются в ходе внешнего итереционного процесса и особенно значительно при изменении краевых условий (приложенных напряжений). Поэтому вычисление оптимальных значений итерационных параметров длч вышеназванных методов является очень сложной задачей и они редко применяются для решения уравнений неразрывности.

В настоящее время обычно используются различные варианты метода неполной факторизации Н. И. Булеева, релаксационный метод Р. П. Федоренко [6] и метод неполного разложения Холецкого с сопряжёнными градиентами.

Метод неполной факторизации Н. И. Булеева (МНФБ), как показывают численные эксперименты, имеет достаточно высокую скорость сходимости в случае сильно меняющихся коэффициентов разностных уравнений. Точной теории выбора итерационного параметра в этом методе нет. Параметр выбирается на основе численных экспериментов, что является недостатком метода. Следует отметить, что неудачный выбор параметра (слишком большое значение) может првести к расходимости итерационного процесса.

Метод неполного разложения Холецкого с сопряжёнными градиентами (ICCG) [5] разработан для систем уравнений с симметричной положительно определённой матрицей. Данный метод вариационного типа не требует задания априорной информации для определения итерационных параметров, что является большим достинством метода.

Релаксационный метод Р. П. Федоренко (РМФ) обладает высокой скоростью сходимости, не зависящей от числа узлов сетки, и не требует задания специальных итерационных параметров. Высокая эффективность этого метода связана с использованием вспомогательных сеток, содержащих значительно меньшее количество узлов, чем исходная сетка. Выбор вспомогательных сеток осуществляется на основе качественной информации о характере решения. Автоматизировать ироцедуру построения вспомогательных сеток весьма сложно, что создаёт определённые трудности при использовании этого метода для расчёта сложных структур.

Приведём расчётные алгоритмы РМФ .

Рассмотрим систему разностных эллиптических уравнений.

(Au)_k=-a_ku_k-1-b_ku_k+1-c_ku_k-md-d_ku_k+m+q_ku_k=f_k

РМФ основан на использовании нескольких вспомогательных сеток (в современной практике одной или двух), содержащих значительно меньшее число узлов, чем исходная основная сетка, для ускорения сходимости. Вначале на основной сетке делается s строчных зейделевских итераций (этот алгоритм будет описан ниже) и в узлах первой вспомагательной сетки вычисляется невязка :

r_k¹=(Au^s)_k-f_k .

затем на первой вспомогательной сетке рассматривается система уравнений.

(A₁u)_k=r_k (3.33).

с однородными граничными условиями. A₁-разностный оператор, аппроксимирующий исходный дифференциальный оператор на первой вспомагательной сетке. Для (3.33) начиная с u=0 делается s1 строчных зейделевских итераций и в узлах второй вспомогательной сетки вычисляется невязка:

r_k²=(Au^s1)_k-r_k¹ (3.34).

После этого на второй вспомогательной сетке рассматривается задача.

(A₂v)_k=r_k² (3.35).

с однородными граничными условиями. A₂— разностный оператор, аппроксимирующий исходный дифференциальный оператор на второй вспомагательной сетке. Для (3.35) начиная с v=0 делается s2 строчных зейделевских итераций, после чего получаем сеточную функцию v ^s2 .Эта функция линейно интерполируется на первую вспомогательную сетку, в узлах которой исправляется u^*= u^s1-v _int^s2.Затем для (3.34) начиная с u^* делается s3 строчных зейделевских итераций .В результате получаем сеточную функцию u^s3, которая линейно интерполируется на основную сетку, в узлах которой исправляется u^*= u^s-u _int^s3.Выбрав u^* в качестве начального приближения, вновь делаем s зейделевских итераций на основной сетке. Описанная процедура является одним циклом РМФ. Итерации заканчиваются, если относительная погрешность приближений, полученных после двух последовательных циклов, не превосходит некой наперёдзпданной величины.

Определение неизвестных на t+1 итерации в строчном методе Зейделя состоит в решении при каждом j=1,2,3,… системы уравнений с трёхдиоганальной матрицей:

a_ku_k-1^t+1-q_ku_k^t+1+b_ku_k+1^t+1=-F_k, (3.36).

F_k=f_k+c_ku_k-m^t+1+d_ku_k+m^t

Данная система уравнений решается методом прогонки. После того как определены все u_k-m^t+1, пологаем t=t+1 и переходим к определению следующего приближения, т. е. заново при каждом j=1,2,3… решаем систему уравнений (3.36).

Сравнение итерационных методов решения эллиптических задач проводят на модельных задачах. Анализ результатов показывает, что эффективность РМФ, ICCG, и МНФБ практически одинаковая, но при увеличении размерности сетки пространственной дискретизации (68*48) РМФ приобретает некоторое преимущество. При этом наибольшая погрешность результатов для для всех трёх методов не превосходит 2% [1].