Арифметические действия с обыкновенными дробями

Возьмём отрезок a. Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е. (рис. 1) При измерении оказалось, что длина отрезка е больше 3 е, но меньше 4 е. Поэтому её нельзя выразить натуральным числом (при единице длины е).

Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е1, то длина отрезка а окажется равной 14е1. Если же вернуться к первоначальной единице длины е, то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е, т. е., говоря о длине отрезка а, мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4. Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде 14/4 е, а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так: пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е1. Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е1, то его длина может быть представлена в виде е. Символ называют дробью, в нём m и n — натуральные числа. Читают этот символ «эм энных».

Вернёмся к рис.1. Выбранный отрезок е1 есть четвёртая часть отрезка е. Очевидно, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е, которая укладывается целое число раз в отрезке а. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 28 таких долей и его длина будет равна 28/8 е. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна е. Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно, получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8 , 56/16 ,…

Вообще, если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью, то она может быть выражена любой дробью, где kнатуральное число.

Определение. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями.

Если дроби и равны, то пишут: =. Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е, следовательно, 14/4 = 28/8 .

Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби:

Для того, чтобы дроби m/n и p/q были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq = np.

Покажем, что m/n = p/q => mq = np. Так как m/n = p/q для любого натурального q, а p/q = pn/qn для любого натурального n, то, из равенства дробей m/n и p/q следует равенство.

mq/nq = pn/qn ,.

из которого в свою очередь вытекает, что.

mq = np.

2. Покажем, что

mp = pq => m/n = p/q.

Если разделить обе части истинного равенства.

mq=np

на натуральное число nq, то получим истинное равенство.

mq/nq = np/nq.

Но.

Пример. Определим, равны ли дроби 17/19 и 23/27. Для этого сравним произведения 17*27 и 19*23; 17*27=459, 19*23=437. Так как 459 437, то 17/19 23/27.

Из рассмотренных ниже фактов вытекает основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробейэто замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, 3/19 — несократимая дробь.

Пример. Сократим дробь 48/80. Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д (48;80) = 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, получаем, что 48/80 = 3/5. Дробь 3/5 — несократимая.

Приведение дробей к общему знаменателю — это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Общим знаменателем двух дробей m/n и p/q является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателемих наименьшее общее кратное К (n, q).

Пример. Приведём к НОЗ дроби 8/15 и 4/35. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15=3*5, 35=5*7. Тогда К (15,35)=3*5*7=105. Поскольку 105=15*7=35*3, то = 8/15 = 8*7/15*7 = 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105 .