Модель второго порядка (метод Андерсона)

Для системы второго порядка с передаточной функцией.

при приложении скачкообразного возмущения амплитудой можно записать кривую разгона в виде.

или ,.

где, если .

Разница между стационарным состоянием и переходной характеристикой будет теплоэнергетика регулирование объект модель и так как, кривая неколебательная и будет положительна.

При принятых условиях (), первый член уменьшается более быстро, чем второй, и, следовательно, для больших значений t можно сказать, что.

.

Прологарифмируем это выражение:

.

Построим график, используя логарифмический масштаб по оси и линейный по оси времени.

На рис. 2.4 получим для больших значений t прямую линию. Эта линия соответствует выражению и, если ее продолжить в области низких значений t, при она пересечет логарифмическую ось в точке .

Необходимо учесть, что экспоненциальный член вида достигает значения 36,8% начального, когда время t равно постоянной времени .

В соответствии с этим, когда прямая достигает ординаты, выполняется равенство .

Рис. 2.4. Графическое представление метода Андерсона Следовательно, как показано на рис. 2.4, это позволяет определить большую постоянную времени системы второго порядка при нанесении возмущения скачком.

Таким образом, нанося на график в логарифмическом масштабе разницу между величиной стационарного и переходного состояния реакции системы на скачок в функции времени для больших значений времени, получают эту прямую линию.

Продолжая эту линию до, получают точку, а момент t, когда эта линия имеет ординату, соответствует большей постоянной времени системы.

Для получения второй постоянной времени заметим, что или, иначе говоря, разница между прямой, которая соответствует, и кривой, которая представляет, соответствует .

Это означает, рассуждая аналогично как для члена, что, если нанести на графике с логарифмическим масштабом разницу, получим прямую, представляющую. Эта линия для имеет ординату и для — ординату .

В соответствии с этим для определения меньшей постоянной времени строим представление разницы, которая определяется графически, используя конструкции, которые использовались при определении, и результирующая прямая определяет. Время t, когда рассматриваемая линия имеет ординату, соответствует искомой постоянной времени.

Можно резюмировать метод в следующем виде.

1. Наносится на график кривая, соответствующая разнице величин стационарного состояния и переходных значений реакции системы на скачкообразное возмущение в функции времени .

Для этой кривой используется полулогарифмическая бумага для оси ординат и линейная для оси абсцисс (времени t).

• 2. Часть кривой, соответствующая линейной части для больших значений, продолжается до пересечения с вертикальной осью, и определяется ордината пересечения .
• 3. Определяется большая постоянная времени как величина времени, для которого прямая из п. 2 имеет ординату 0,368 от начальной.
• 4. Повторяя эту процедуру для результирующих значений разницы между кривой и прямой, которая соответствует большим значениям времени, и определяют меньшую постоянную времени.

С теоретической точки зрения метод может использоваться для систем более высокого порядка, чем второй, но на практике, учитывая графические построения, определить больше, чем две постоянные времени, весьма трудно.

Коэффициент усиления объекта определяется как обычно.