Локальная интерполяция. 
Моделирование интерполяции

При локальной интерполяции для каждого интервала строится своя функция. Рассмотрим линейную интерполяцию. Задана точка x (i=1, 2, 3… n) на отрезке [a; b] и значения функции в этих точках y (i). Запишем уравнение прямой на i — том интервале, проходящей через точки (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i):

(y-y_i-1) / (y_i-y_i-1) = (x-x_i-1) / (x_i-x_i-1).

Отсюда.

y = y_i-1 + (y_i-y_i-2) * (x-x_i-1) / (x_i-x_i-1).

По этой формуле можно определить функцию y в лубой точке. Но сначала надо определить в какой интервал отрзка [a; b] попадет искомая точка, т. е. определитель i.

Линейную интерполяцию применяют, если функция близка к линейной или узлы интерполяции находится достаточно близко между собой.

Алгоритм локальной интерполяции по формуле Лагранжа

Формулу Лагранжа можно использовать и для локальной интерполяции. Для этого удобно проводить интерполяционный многочлен через 4 точки, причем проводить его так, чтобы точка, в которой надо найти значение функции, находилась в середине многочлена, т. е. между второй и третьей точками. Исключение составит точки, находящиеся на первом и последнем интервале.

n — количество узлов интерполяции;

a, b — соответственно левый и правый концы интервала;

x (n), y (n) — массивы узлов интерполяции;

xk — точка, в которой надо найти значение функции;

yk — значение интерполяционного многочлена в точке xk;

nn, nk — соответственно номера 1 — ой и последней точек интерполяционного многочлена.

Обычно при локальной интерполяции не применяют многочлен выше четвертой степени. Для повышения точности надо увеличить количество узлов. Недостатком локальной интерполяции является наличие точек сопряжения интерполирующих кривых, а значит — разрыв производных, что недопустимо для некоторых задач.