Система автоматического регулирования

Уравнения элементов системы.

• (0,04р² + 0,12р + 1) у = 2u,
• (0,98p + 1) u = 12,0x,

x = 5,0 (1).

y₀ = 1,2 y.

Требуется:

• 1) определить передаточные функции элементов САР и указать, каким типовым динамическим звеном является каждый из элементов; найти передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР;
• 2) построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы; пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определить устойчивость системы в замкнутом состоянии; если система устойчива, то рассчитать запас устойчивости по фазе и по амплитуде;
• 3) построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (асимптотическую амплитудно-частотную и фазо-частотную); определить критическое значение коэффициента усиления разомкнутой системы;
• 4) составить характеристическое уравнение замкнутой системы; воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица, определить устойчивость замкнутой САР и критическое значение коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии; результаты сравнить с полученными в пп. 2,3

Решение.

1. Вычисляем все передаточные функции звеньев САР и определяем по их виду соответствующий ему тип динамического звена.

W₁ (p) = = - колебательное звено (2).

W₂(p) = = - инерционное звено (3).

W₃ (p) = = 5,0 — пропорциональное звено (4).

W₄ (p) = =1,2 — пропорциональное звено (5).

Тогда передаточная функция разомкнутой системы равна:

W_p (p) = w₁ (p) w₂ (p) w₃ (p) w ₄ (p) = 5,0 1,2 =144 = K, (6).

Где К = 144 — коэффициент усиления разомкнутой системы, R (p) и Q (р) — соответствующие полиномы.

Передаточная функция замкнутой системы равна.

W (p) = = =.

= (7).

2. Для построения амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы по ее передаточной функции wp (p) делаем в ней подстановку p = jw и полученную комплекснозначную функцию (комплексный коэффициент передачи) разделяем на вещественную и мнимую части (см./1/, стр. 145−146) :

W_p (jw) = U (w) + jV (w).

W_p (jw) = = = =.

= K; (8).

Т.е.

U (w) = ;

V (w) = ;

Для наглядности анализа свойств амплитудно-фазовой частотной характеристики избавимся от влияния конкретных значений коэффициентов усиления звеньев и системы в целом, для чего разделим полученное выражение для комплексного коэффициента передачи w_p (jw) на коэффициент усиления разомкнутой системы К. В результате получим скорректированную комплексную передаточную функцию отличающуюся от функции w_p (jw) только масштабом К:

= + (9).

Следовательно, сопоставляя (9) с (8), получим.

; (10).

;

Задаваясь поочередно рядом значений w, вычисляем соответствующие значения и (табл. 1).

Таблица 1.

После этого строим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы в виде кривой по вычисленным точкам. При этом учитываем, что амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому вычисляем ту ее часть, которая соответствует положительным частотам, а ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам может быть найдена как зеркальное отражение ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси.

Пользуясь критерием устойчивости Найквиста (см./1/, стр. 147), исследуем теперь вопрос об устойчивости системы в замкнутом состоянии.

Прежде всего, заметим, что согласно (6) характеристическое уравнение разомкнутой системы в нашем случае.

(11).

имеет следующие корни:

.

(12).

Следовательно, характеристическое уравнение не имеет «правых» (положительных) корней (их число 1=0). Поэтому система в разомкнутом состоянии устойчива (согласно теореме Ляпунова, /1/, стр. 122). Далее, критерий Найквиста заключается в том, что для устойчивости замкнутой системы ее кривая W (jw) должна охватывать точку (-1,j0) при обходе в положительном направлении Ѕ раз. Следовательно, в данном случае замкнутая САР будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы w_p(jw) не охватывает точку (-1, j0), или, что-то же самое, кривая w_p(jw)= w_p(jw)/К не охватывает точку Видно, что кривая рис. 2 один раз охватывает точку (-1/К, j0)= (-0,025, j0). Следовательно, замкнутая система не является устойчивой согласно критерию Найквиста. Из этого, в частности, следует, что система не имеет запаса устойчивости ни по фазе, ни по амплитуде.

Для построения асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, прежде всего, определяем на графике сопрягающие частоты, определяемые по передаточным функциям отдельных звеньев САР:

для колебательного звена.

(15.1).

для инерционного звена.

(15.2).

Пропорциональные звенья 3 и 4 сопрягающих частот не имеют.

После определения сопрягающих частот на графике нужно отметить точку с координатами w=1, L (w)=20 lgK. Далее, через эту точку проводим низкочастотную асимптоту параллельно оси абсцисс, поскольку система не имеет астатизма (отсутствует интегрирующее звено, и как следствие, ее характеристическое уравнение не имеет нулевых корней); эта асимптота заканчивается на первой частоте сопряжения w₂=1,0204 c. Следующая асимптота проводится до частоты w₂ =1,0204 с^-1 с наклоном -20дБ на декаду (ее наклон отличается от наклона предыдущей линии на -20дБ/дек, поскольку частота w₂ создана инерционным звеном). Далее, асимптота после w₁ имеет наклон -60 дБ/дек (ее наклон отличается от наклона предыдущей линии на -40 дБ/дек, поскольку частота w₁ создана колебательным звеном).

Найдем фазо-частотные характеристики отдельных звеньев САР, заменяя в из передаточных функциях (2)-(5) р на :

Тогда.

).

Строим фазо-частотные характеристики отдельных звеньев САР и их сумму Определение критического коэффициента усиления замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы выполняем графическим способом. Для этого находим частоту w_кр, при которой логарифмическая фазочастотная характеристика пересекает линию, соответствующую фазовому сдвигу -180: w_кр=5,297 с^-1

Затем определяем значение логарифмической амплитудно-частотной характеристики L (w) при частоте w_кр: L (w_кр)=27,8581, после чего находим К_кр из соотношения.

L (w_кр)=20 lg (К/ К_кр),.

Откуда К/ К_кр=10*(L (w_кр)/20)=24,7119.

К_кр=К/24,7119=144,0/24,7119=5,8271.

— критическое значение коэффициента усиления, определенное по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Действительный коэффициент усиления заданной системы К=144 К_кр=5,8271 следовательно, замкнутая система находится в неустойчивом состоянии, что согласуется с выводом о неустойчивости системы, сделанным в п. 2. Составляем характеристическое уравнение замкнутой системы путем приравнивания нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

Q (p)+K,.

или, подставляя в это уравнение выражения для Q (p) и, указанные в (6),.

(0,04р²+0,12р+1)(0,98р+1)+К=0.

Раскрывая скобки, приводим это уравнение к нормальному виду:

(16).

или записывая это уравнение в виде равенства нулю полинома 3-й степени общего вида.

(17).

где, сопоставляя (17) с (16), имеем.

(18).

Пользуясь критерием устойчивости Гурвица, определяем необходимые и достаточные условия устойчивости для системы 3-го порядка, которые заключаются в положительности коэффициентов характеристического уравнения а₀-а₃ (это условие очевидным образом выполняется) и в положительности всех определителей Гурвица, т. е. для системы 3-го порядка из 2-го неравенства получим условие.

(19).

Поскольку в выражения для коэффициентов а_i, вообще говоря, входит коэффициент усиления К, то неравенство (19) определяет область устойчивых значений К. Случай а₁ а₂ =а₀а₃ соответствует нахождению системы на границе устойчивости.

Подставляя уравнение (19) значения коэффициентов (18), определим из него область устойчивых значений К_кр:

0,1576.

отсюда К_кр =3,42-критическое значение коэффициента усиления.

Действительный коэффициент усиления заданной системы т. е. система находится в неустойчивом состоянии, что вновь согласуется с выводом о неустойчивом состоянии системы, сделанным в п. 2,3.

автоматический регулирование устойчивость частотный Список используемой литературы.

1. Теория автоматического управления: Учебник для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». в 2-ух ч. Ч.1 Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А.А. воронова и др.- М.Высш.школа, 1986.-367 с.