Алгебра и квадратные уравнения

Автором арабского трактата по алгебре «Краткой книге об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы», в латинских переводах, оказавшего большое влияние на средневековую европейскую науку, является ал-Хорезми.

Рассматривающееся решение шести канонических классов уравнений первой и второй степени, которые он, как его приемники в странах арабского Востока записывали без всякой символики:

Например, уравнение четвертого класса он выражал так: «квадраты и корни равны числу».

Решение какого-либо уравнения первой или второй степени сводится к одному из этих типов, не содержащих вычитаемые члены. Для этого применяются операции, давшие названия как трудам по алгебре, так и самой этой науке. Операция ал-джабр (воспоминания) есть перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; ал-мукабала (противопоставления) есть сокращение равных членов в обеих частях. Кроме того, требовалось привести коэффициент, а при квадрате к единице, так как правило решения формулировались для этого случая. Так, например, уравнение с помощью ал-джабра преобразуется в и после деления на 2 с помощью ал-мукабалы в уравнение пятого класса Ал-Хорезми формулирует правила, дающие положительные корни уравнения, на конкретных примерах с числовыми коэффициентами, но вполне общим образом. Обосновал ал-Хорезми правило для четвертого и шестого классов с помощью некоторых геометрических преобразований прямоугольных фигур, соответствующих нашим алгебраическим преобразованием.

Например, правило решения уравнения доказывается следующим образом. Неизвестная величина x изображается линией, -квадратом, построенным на этой линии, а произведение — суммой двух прямоугольников со сторонами и 5 .

Эти прямоугольники вместе с квадратом образовывали Г-образную фигуру с площадью 39. Далее Г-образная фигура дополняется квадратом со стороной 5 до полного квадрата с площадью 64. Сторона полного квадрата одновременно есть и 8; следовательно =3.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми встречаются также краткие сведения о действиях с алгебраическими выражениями, примеры алгебраического решения треугольников и ограничения некоторых задач на раздел наследств, выражающихся уравнениями первой степени.

Доказательствами правил решения квадратных уравнений занимались и другие ученые, в частности Сабит ибн Корра. Ибн Корра автор многих сочинений по математике, астрономии и механике. Имеются у него переводы и редакции с греческого и сирийского. Именно в его переводах сохранились не дошедшие до нас по-гречески книги «Конические сечения» Апполония, «Книга лемм»; «Книга о семиугольнике» и другие мемуары Архимеда. Все позднейшие ученые востока пользовались его переводом «Алмагеста» и «Началами» Евклида в его редакции. Известен трактат ибн Корры, посвященный квадратным уравнениям «Рассуждение об установлении задач алгебры с помощью геометрических доказательств».

Решение квадратного уравнения.

Из «Краткой книги об исчислении алгебры и ал-мукабалы» Мухаммеда ал-Хорезми. Рассмотрим уравнение, которое обошло все средневековые руководства алгебры.

Что касается квадратов и корней, равных числу, то если, например, ты скажешь: квадрат и десять его корней равны 39 дирхемам (дирхем от греческого — драхма — денежная единица, здесь это просто единица), то это означает, что если добавить к некоторому квадрату то, что равно 10 корням, получится 39. Правило таково: раздвой (число) корней, получится в этой задачи 5, умножь это на равное ему, будет 25. А прибавь это к 39 будет 64. Извлеки из этого корень, будет 8, и вычти из этого половину (числа) корней, т. е. 5, останется 3: это и будет корень квадрата, который ты искал, а квадрат есть 9.

Надо сказать, что правило поясняются на примерах, но формулируются общим образом.

Имеется чертеж, передающий смысл этого. Это плоская фигура АВ, являющаяся квадратом (рис.3). Чтобы прибавить к ней равное десяти ее корням, нужно раздвоить десять (корней), получается 5, строим (полученные) две плоские фигуры на двух сторонах фигуры АВ, это фигуры С, и D. Причем длина каждой из этих фигур — 5, т. е. половина десяти корней, а ширина их равна стороне фигуры АВ. Остается квадратная фигура в одном из углов фигуры АВ (размерами) 5 на 5, а 5 — половина десяти корней, построенных на сторонах первой фигуры. Первая фигура — квадрат и что две фигуры на его сторонах составляют 10 корней. Все это вместе составляет 39. До поной самой фигуры остается квадратная фигура (размерами) 5 на 5, т. е. 25. Прибавим это к 39, чтобы дополнить, большую фигуру, т. е. фигуру GЕ. Все это вместе составляет 64. Извлечем корень, это 8. Это одна сторона самой большой фигуры.

Если мы вычтем из нее равное тому, что мы прибавляли, т. е. 5, останется 3. Эта сторона фигуры АВ, являющейся квадратом, т. е. корень, а квадрат его есть 9.

Как видно, доказательство также имеет общий характер, хотя и проведено на примере уравнения.

.

Приведенное доказательство встречается у ал-Хорезми впервые.