Уравнения движения грунтовых вод

Как уже было сказано, вода в пористых средах может находиться в различных состояниях. Мы будем рассматривать движения гравитационной воды (грунтовой воды).

В каждой из пор грунта происходит сложное давление с изменением скорости и ускорения по величине и направлению от точки к точке. Поры имеют различное направление и различную форму стенок, следовательно, в каждом выделенном объеме грунта должны иметься самые разнообразные по величине и направлению скорости. Отсюда и невозможность рассмотреть скорости отдельных частиц.

Логичнее рассматривать средние значения скоростей некоторых объемов. В теории фильтрации принято рассматривать не скорости, а расходы через определенную площадку. Вектора расхода мы обозначим через х. Если средняя скорость частиц некоторого объема есть u, то можно отнести ее к центру тяжести этого объема, координаты которого (x, y, z).Вектор u будет состоять из.

Обозначив пористость грунта через ?, запишем:

(9).

Если составляющие вектора х обозначить через х_x, х_y, х_z, то В гидродинамике при выводе уравнений движения рассматривают ускорения частиц жидкости, которые выражаются через скорости так:

Уравнения движения отдельных частиц жидкости в порах можно рассматривать таким образом:

(11).

В уравнении (11): p — давление жидкости, с — плотность, g — ускорение силы тяжести, ось z направлена вверх. Через обозначили составляющие условных сил сопротивления, которые испытывает частица жидкости в поре. Эти силы сопротивления зависят от внутреннего трения жидкости.

Считая скорости и их производные по координатам малыми, произведениями их пренебрегают, оставляя в выражениях составляющих ускорения лишь члены .

Таким образом, уравнения (11) становятся линейными. Теперь нетрудно произвести их осреднение по некоторому объему, достаточно малому, чтобы учесть изменения скорости от одного места движения к другому, но достаточно большому по сравнению с размерами пор. Тогда можно будет понимать их средние значения по объему. При этом под понимаем составляющие сил сопротивления, полученные из опыта.

Отсюда, закон Дарси можно рассмотреть как линейный закон сопротивления, то есть закон, при котором сопротивление пропорционально первой степени скорости фильтрации. Запишем зависимость в следующем виде:

(12).

Посчитав, что коэффициент k сохраняет для неустановившегося движения то же значение, что и для установившегося, перепишем линеаризованные и осредненные уравнения (11) и (12) в виде (Жуковский 1889, [9]).

(13).

При реальных значениях коэффициента фильтрации (k= 1 — 100м/сутки) членами, содержащими дифференцирование по времени, можно пренебречь.

В реальности, каждое уравнение имеет вид (Ризенкампф 1938, [10]).

Введем переменную которая выражает отклонение V от л. Получим.

Если останется ограниченным при всех t, то член (будет очень малым. Предложив, что k = 100 м/сутки = 1864 м/сек и g= 10 м/сек², получим л=1/8640 сек, и членом Л действительно можно пренебречь. Если не очень велико. Оставшееся уравнение.

интегрировании дает.

Правая часть настолько быстро стремится к нулю, что через доли секунд U=0, V = л, то есть можно пренебречь членами.

Тогда уравнение (5) можно переписать в виде.

(14).

Движения, в которых можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами трения, называют по Стоксу ползущими. В них сопротивление пропорционально первой степени скорости.

Уравнения (13) содержат четыре неизвестные функции:. Присоединим к этим уравнениям уравнение неразрывности. Вывод его проводится так же, как в общей гидродинамике (Кочин, Кибель и Розе 1963, [11]). Выделяя элементарный объем пористой среды в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz и подсчитывая проходящие через него объемы жидкости уравнение неразрывности в виде.

(15).

Это уравнение имеет тот же вид, что и в общей гидродинамике несжимаемой жидкости.

Из соотношения (14) следует, что скорость фильтрации имеет (при постоянном k) потенциал.

.

(C — произвольная постоянная), так что.

(16).

Из уравнения неразрывности следует, что потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.

(17).