Применение функций к медицинским данным

В данной главе будет рассмотрены различные статистические функции, применяемые врачами при анализе медицинских данных. Также, приводится описание существующих методов классификации данных анализа формальных понятий. Конец главы посвящен основным определениям в области анализа формальных понятий.

Статистические функции

Для качественного анализа врачам необходим достаточно большой набор статистических функций. В основном, в ходе анализа используются следующие функции:

• — Описательная статистика;
• — Непараметрическая статистика;
• — Анализ выживаемости;
• — Дисперсионный анализ.

Описательная статистика используется для получения общей картины определенной выборки. При описании признаков, врач может найти такие значения, как общее количество, среднее значение, стандартную ошибку, стандартное отклонение, математическое ожидание, минимум, максимум, медиану и моду[7]. Часто для анализа медицинской информации используются непараметрические методы статистики, так как анализируемая выборка может быть небольшой, или же нельзя сказать с уверенностью, что распределение будет нормальным.

Одним из часто используемых непараметрических критериев, применимый при выявлении корреляции между двумя выборками, является коэффициент корреляции Спирмена:

где R₁ — ранг наблюдения x_i в ряду x,.

R₂— ранг наблюдения y_i в ряду y, а x и y — выборки,.

При значении p < 0.3 связь между выборками мала; при попадании значения p в интервал [0.3, 0.7] - связь между выборками средняя. Показатель p выше 0.7 говорит о высокой корреляции между выборками.

Для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеряемому в количественной или порядковой шкале, врачи часто используют такой непараметрический тест, как U-критерий Манна-Уитни. Для корректной работы данного теста выборка может быть, как маленького размера (n_1, n₂? 3), так и достаточно большого (n_1, n₂? 60).

Для получения U-критерия Манна — Уитни, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Составить ранжированный ряд объединенной выборки, расставив их элементы по возрастанию. Ранжировать данный ряд. При этом количество рангов получится равным:

где — количество элементов в первой выборке, а — количество элементов во второй выборке.

• 2. Разбить ранжированный ряд на две выборки. Рассчитать суммы рангов для первой и второй выборок и определить большую из двух ранговых сумм (), соответствующую выборке с элементами.
• 3. Значение U-критерия Манна — Уитни необходимо определить по формуле:

4. Если полученный U-критерий меньше или равен критическому значению, взятому из таблицы для уровня значимости 95%, то принимается наличие различия между выборками — уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке. В противном случае, принимается гипотеза об отсутствии различия между выборками.

Помимо двух вышесказанных непараметрических тестов, врачи, при анализе двух выборок, состоящих из бинарных признаков, используют таблицу частот 2×2. Таблица позволяет получить ч-квадрат Пирсона, скорректированный ч-квадрат, ц-квадрат и ч-квадрат Макнемера.

Одним из важных анализов, применяемых врачами для обработки данных является анализ выживаемости. Часто для расчетов используется оценка Каплана-Мейера, имеющая важное преимущество над другими методами анализа выживаемости — она учитывает, что больные могут выбывать в ходе проведения эксперимента. Основная идея расчета оценки представлена ниже:

Пусть выбраны моменты времени. Для каждого необходимо рассчитать вероятность пережить этот момент. Оценка функции выживания имеет вид:

.

где — объекты, дожившие до момента времени, исключая выбывших,.

— объекты, для которых произошёл исход в момент времени .

Для проведения дисперсионного анализа для нескольких выборок, часто используется критерий Краскела-Уоллиса.

В основе этого метода статистики лежит сравнение медиан выборок, подаваемых в тест для определения различий. Алгоритм Краскела-Уоллиса описан ниже:

Заданы выборок:

.

Объединённая выборка будет иметь вид:

Нулевая гипотеза.

.

Альтернативная гипотеза:

.

Упорядочим все элементов выборок по возрастанию и обозначим рангго элементай выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах имеет вид:

Где: ;

Гипотеза сдвига не принимается на уровне значимости, если, где — критическое значение, при и вычисляемое по таблицам.

При больших значениях применимы различные аппроксимации.