Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации

В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоскорадиального течения.

(3.27).

где .

Несжимаемая жидкость в недеформируемом пласте. Выразим скорость фильтрации через дебит Q: u=Q / (2 rh).

и перепишем выражение (3.27) в виде.

. (3.28).

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае, по радиусу от r до Rк и по давлению от р до рк, а, во втором случае, по радиусу от rс до Rк и по давлению от рс до рк, получаем:

· распределение давления в пласте.

; (3.29).

· дебит скважины.

. (3.30).

Дебит находится как положительный корень квадратного уравнения (3.29). Из данного уравнения видно, что индикаторная линия — парабола. Кривая распределения давления (3.29) — гипербола и воронка депрессии — гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

Идеальный газ в недеформируемом пласте. Найдём распределение давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход.

. (3.30).

Подставим выражение (3.30) в (3.27) и, заменив плотность по уравнению состояния (3.14), получим:

. (3.31).

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах р — рс и r — rc получим:

. (3.32).

Распределение давления по (3.32) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.

Интегрируя уравнение (3.31) в пределах рк — рс и Rк — rc, получаем выражение для притока при пренебрежении 1/Rк по сравнению с 1/rc:

(3.33).

или в общепринятом виде.

. (3.34).

Уравнение (3.34) — основное уравнение, используемое при разработке газовых и газоконденсатных месторождений, так как определяет приток газа к скважине. Коэффициенты, А и В определяют по данным исследования газовых скважин при установившихся режимах.

Однородная несжимаемая жидкость в деформируемом (трещиноватом) пласте. Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде.

(1.46).

где; lбл — средний линейный размер блока.

Умножим все члены (1.46) на плотность и вынесем за скобки вязкость. Тогда применительно к плоскорадиальному потоку получим:

(3.35).

где.

После разделения переменных и интегрирования (3.35) в пределах rc — rк; с — к получим.

(3.36).

Если в (3.36) подставим выражение для трещинной проницаемости и выразим массовый дебит через объёмный, то будем иметь окончательное выражение.

. (3.37).

Как видно из (3.37), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол — параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (рс) и отстоящей от последней на расстоянии, равном.

.

Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом) пласте. Из (3.37) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение:

(3.38).

Зависимость величины проницаемости от метода обработки индикаторной диаграммы. В практике гидродинамических исследований скважин большое значение имеет этап идентификации индикаторных кривых, т. е. определение типов флюида и коллектора, а также закона притока флюида в скважину. Для примера рассмотрим, как изменение аппроксимации одних и тех же экспериментальных данных разными уравнениями притока приводит к значительному различию в значениях определяемой проницаемости (рис. 3.12).

а б.

Рис. 3.12. Аппроксимация индикаторной диаграммы различными уравнениями притока:

Q=0,0972?p — линейный закон фильтрации, без скин-эффекта;

Q=0,132?p -12,432 — линейный закон фильтрации, со скин-эффектом;

?p=0,0001Q2+0,04 Q — нелинейный закон фильтрации Из приведенных рисунков видно, что все аппроксимации находятся в области точности, удовлетворяющей точности, принятой при обработке гидродинамических исследований. В то же время, в первом случае мы имеем расчетную проницаемость k= 0,25 дарси, во втором — 0,19 дарси, а в третьем — 0,61 дарси. Таким образом, получаем, что по одним и тем же промысловым данным мы, если не сделать предварительно анализ вида течения, получим проницаемости пласта отличающие в несколько раз. Следовательно, и в прогнозируемой продуктивности пласта мы ошибемся в несколько раз. Если же, в результате мероприятий по интенсификации притока изменится тип коллектора, то, считая его неизменным, можно получить результаты ещё более отличающие. Отсюда следует, что применение даже очень совершенных расчетных методик может привести к неправильным результатам без предварительной оценки вида течения и коллектора, так как любая программа подбирает необходимое уравнение притока по заданной точности, а часто отличия могут крыться в области, принятой за достаточно точную.