Основные логические операции

Суждения в математической логике могут быть простыми и сложносоставными. Примеры простых суждений:

х = 1 рост < 160.

А цена (х, у) Сложносоставные суждения в математической логике образуются из простых с помощью логических связок и, или и не, выражающих три основных логических операции:

логическая связка не — отрицание суждений;

логическая связка или — конъюнкция суждений;

логическая связка и — дизъюнкция суждений.

Примеры сложносоставных суждений:

не, А — неверно суждение, А С или В — истинно С или В.

• (х > 0) и (у > 0) — (х больше 0) и (у больше 0)
• (глаза = синие) или (глаза = голубые)

Логическая связка не используется для выражения отрицаний. Примеры:

не (глаза = синие), — неверно, что глаза синие не (А или В), — неверно, что выполняется, А или В не (любит (Саша, конфеты)) — неверно, что Саша любит конфеты Наглядной иллюстрацией этих логических связок с предикатами служат следующие диаграммы:

Отрицание не, А истинно или ложно в зависимости от истинности исходного суждения А. Свойства отрицания не как логической связки можно описать таблицей истинности:

Таблица истинности:

А не А.

Свойства отрицаний:

НЕ1: Отрицание ложно, если суждение истинно.

НЕ2: Отрицание истинно, если суждение ложно.

Для понимания отрицаний важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их позитивные переформулировки:

не (х = 0) (х 0).

не (х 0) (х = 0).

не (х > 0) (х 0).

не (х < 0) (х 0).

не (х 0) (х < 0).

не (х 0) (х > 0).

Свойства отрицаний, записанные в таблицу истинностности, могут быть описаны как факты на языке Пролог:

не (да, нет);

не (нет, да);

После ввода этих фактов в ЭВМ с помощью запросов можно перепроверить свойства отрицаний:

? не (А, нет) А = да.

? не (А, да) А = нет Логическая связка и в математической логике называется конъюнкцией.

Таблица истинности конъюнкции:

А В, А и В.

Свойства конъюнкции:

И1: Конъюнкция, А и В истинна, когда истинны оба суждения.

И 2: Конъюнкция, А и В ложна, когда ложно хотя бы одно из суждений, А или В. Логическая связка или в математической логике называется дизъюнкцией.

Таблица истинности дизъюнкции:

А В, А или В.

Свойства дизъюнкции:

ИЛИ1: Дизъюнкция, А или В истинна, когда истинно любое из суждений, А или В.

ИЛИ2: Дизъюнкция, А или В ложна, когда ложны оба суждения, А и В.

Свойства конъюнкции и дизъюнкции также можно описать в виде фактов на языке Пролог:

Дизъюнкция: Конъюнкция:

или (да, да, да); и2 (да, да, да);

или (да, нет, да); и2 (да, нет, нет);

или (нет, да, да); и2 (нет, да, нет);

или (нет, нет, нет); и2 (нет, нет, нет);

Опираясь на эти факты можно получить ответы на вопросы о свойствах дизъюнкции и конъюнкции с помощью ЭВМ:

? или (А, В, нет)? и 2 (А, В, да) А = нет В = нет, А = да В = да.

? или (А, В, да)? и 2 (А, В, нет) А = да В = да, А = да В = нет, А = да В = нет, А = нет В = да, А = нет В = да, А = нет В = нет Одной из важнейших логических связок математической логики является импликация, А В. Эта связка в математической логике используется для определения правил логического вывода.

Импликация, А В — это логическое следование. Импликация, А В читается: «если А, то В». Первое суждение в импликации называется посылкой, а второе суждение — следствием.

Приведем примеры правил логического вывода:

а) с использованием высказываний:

если «на улице дождь», то «на улице мокро»,.

б) с использованием предикатов:

любит (х, конфеты) сластена (х).

Таблица истинности импликации:

А В, А В.

Свойства импликации:

П1: «Импликация, А В ложна, когда посылка, А истинна, а следствие В — ложно».

П2: «Импликация, А В истинна, когда истинно следствие либо ложны и посылка и следствие».

В языке Пролог импликации используются для описания правил вывода и определения новых логических понятий. Например, понятие «сластена» в языке. Пролог описывается следующим образом:

сластена (х) любит (х, конфеты);

Описание этого правила позволяет вводить в ЭВМ вопросы о «сластенах» и получать осмысленные ответы, исходя из сведений, хранящихся в базе данных:

? сластена (х) — Кто сластена?

х = Маша С помощью таблиц истинности могут быть описаны и проверены свойства любых сложносоставных высказываний. Соответственно с помощью этих таблиц на ЭВМ средствами языка Пролог могут быть проверены любые сложносоставные высказывания и законы исчисления высказываний.

Задача 1. Проверьте закон двойного отрицания в исчислении высказываний не (не А) А Решение Рассмотрим объединенную таблицу истинности высказываний, А не, А не (неА).

Сравнение крайних столбцов показывает, что всюду, где высказывание, А истинно, там же истинно и двойное отрицание не (не А). И наоборот, всюду, где ложно А, там ложно и двойное отрицание не (не А). Следовательно, двойное отрицан…

мама (Люба, Оля); - Люба — мама Оли оценка (Вова, физика, 5); - Вова имеет 5 по физике Обобщенные сведения в базах знаний записываются в форме правил вывода, выражающих определения понятий. Примеры обобщенных сведений:

бабушка (х, z) мама (х, у), мама (у, z) — бабушка — это мама мамы двоечник (х) оценка (х, _, 2) — двоечник — тот, у кого есть двойки Используя совокупность конкретных и обобщенных фактов и правил, компьютеры могут давать ответы на широкий круг осмысленных вопросов. Для этого соответствующая база знаний с соответствующей системой понятий должна храниться в памяти ЭВМ.

Базы знаний могут содержать правила вывода следующих видов:

• — правила определения понятий;
• — правила принятия решений;
• — способы решения задач;
• — правила поведения и т. п.

При определении новых понятий необходимо различать их объем и содержание. Объем понятия — это совокупность вещей или явлений, отвечающих данному понятию. Объем понятий соотносит словам и терминам соответствующие объекты предметной области.

Содержание понятия — это совокупность логических признаков, выделяющих объекты, отвечающие данному понятию, среди других объектов. С логической точки зрения определение понятия представляет описание совокупности признаков, характеризующих его содержание.

Приведем примеры определения понятий.

1. Понятие «мама». Объем понятия — совокупность всех мам. Содержание понятия — женщина, имеющая детей. Формализация понятия на Прологе может выражаться конкретными фактами. Примеры:

мама (Люба, Оля); - Люба — мама Оли мама (Зина, Люба); - Зина — мама Любы.

2. Понятие — «бабушка». Объем понятия — совокупность всех бабушек. Содержание понятия — «бабушка — это мама мамы или папы». Формализация этого понятия на Прологе:

бабушка (х, z) мама (х, у), мама (у, z); - бабушка — это мама мамы бабушка (х, z) мама (х, у), папа (у, z); - бабушка — это мама папы.

3. Понятие «музыкант». Объем понятия — совокупность людей, занимающихся музыкой. Содержание понятия — «музыкант — человек, который любит музыку и занимается музыкой». Это понятие на языке Пролог можно записать в виде правила:

музыкант (х) любит (х, музыка), занятие (х, музыка).

4. Понятие «студент». Объем и содержание понятия — учащиеся в вузах, университетах и колледжах. Определение этого понятия на Прологе можно записать в виде набора правил:

студент (х) занятие (х, учеба), место (х, университет);

студент (х) занятие (х, учеба), место (х, институт);

студент (х) занятие (х, учеба), место (х, колледж);

Для создания сложных баз знаний может понадобиться целая система понятий, характеризующих объекты в заданной предметной области. Эта система определений базируется на наборе признаков, где каждый признак является характеристикой некоторого объекта.

Примеры признаков объектов и соответствующих значений:

цвет — красный, белый, зеленый, черный и т. д.;

вес — определяется в килограммах;

возраст — определяется в годах: 1, 2, 3, …

Примеры записи признаков на Прологе:

возраст (Иванов, 18);

вес (Иванов, 85);

цвет (Иванов, глаза, синий);

цвет (Иванов, волосы, белый);

Основные возможности баз знаний:

• — поиск ответов на сложные вопросы;
• — логическая обработка данных;
• — моделирование процедур принятия решений;
• — обновление и ввод дополнительных данных;
• — вывод информации в естественно-языковой форме;
• — создание новых баз знаний.

Вопросы.

• 1. Что такое базы знаний?
• 2. Как записываются факты на языке Пролог?
• 3. Как записываются вопросы на языке Пролог?
• 4. Как записываются правила на языке Пролог?
• 5. Что такое содержание понятий?
• 6. Каковы основные возможности баз знаний?

Задачи.

• 1. Составьте базу знаний о книгах в библиотеке. Включите следующие сведения: название книги, жанр книги, автор, главный герой, страна.
• 2. Составьте базу данных о собаках и кошках у ваших знакомых. В базу включите сведения об их породе, возрасте, кличках.
• 3. Составьте базу знаний о соревнованиях. База должна содержать две группы фактов.

Первая группа фактов — сведения о командах: названия команды, города, тренер.

Вторая группа фактов — сведения о матчах: даты, команды и счет.