Геометрическая оптика неоднородной прозрачной среды, пронизываемой движущимся через нее эфиром. 
Теорема Лоренца

Свою оптико-геометрическую теорию движущихся вместе с Землей оптических приборов Лоренц развил в 1886 г. с целью объяснения следующих трех к тому времени уже твердо установленных опытных фактов:

существует яаление астрономической аберрации положений звезд, заключающееся в том, что звезды в течение года описывают на небе маленькие эллипсы (переходящие в окружности для звезд, находящихся вблизи полюса эклиптики, и дважды покрытые отрезки для звезд, находящихся вблизи экватора эклиптики);

свет от любой звезды, фиксируемый на Земле как свет, приходящий по определенному направлению и определенной частоты, будучи использованным в любых оптических экспериментах — по отражению, по преломлению, по интерференции и т. д., ведет себя в точности так же, как и свет от земного источника, распространяющийся по тому же направлению и обладающий той же частотой;

ни в одном оптическом эксперименте, который можно произвести с земным источником света, нельзя неблюдать никакого эффекта, связанного со скоростью движения Земли на ее орбите вокруг Солнца, если ограничиться членами первого порядка малости по, где — скорость света в пустоте.

Любой как угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы, щели, диафрагмы и т. д., можно считать кусочно однородной средой (т. е. средой, состоящей из пространственных областей с разными показателями преломления). Будем, однако, следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не с такой специфической кусочно-однородной, а с произвольной оптически неоднородной средой, оптические свойства которой характеризуются заданной функцией локального показателя преломления, где — показатель преломления в точке среды с координатами .

Среду будем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной с Землей, движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.

Лоренц проводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе координат, жестко связанной со средой и с Землей. При этом он предполягает, что Землю и прозрачную среду пронизывает «эфирный ветер», характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полем скоростей .

Таким образом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку принципа Гюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной среды, в которой мы исследуем распространение световых волн, т. е. что в среде имеется эфирный ветер.

Как при формулировке обычного принципа Гюйгенса, для неподвижного эфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или фронта волны, распространяюшейся в покоящейся относительно Земли, но движущейся относительно мирового пространства среде, увлекающей с собой частично эфир, в два бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть эти положения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S¹, см. рис.

Чтобы исходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность волнового фронта S¹, надо взять каждую точку P на поверхности S и мысленно испустить из этой точки в момент времени t т. е. взять бесконечно малую поверхность около точки P, до которой к моменту времени t+dt это возмущение дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарной волны. На приведенном рисунке кривая ab изображает часть поверхности фронта элементарной волны, испущенной из точки P, рассматриваемой в момент времени t+dt.

Согласно принципу Гюйгенса, поверхность S¹, будет геометрической огибающей поверхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех точек P поверхности S.

Одновременно с построением положения последующего фронта волны мы узнаем и дальнейший ход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P на поверхности P, являющестя центром испускания элементарной волны, в точку P¹, расположенную на поверхности S¹ и являющуюся точкой касания этой элементарной волной огибающей поверхности S, является элементом луча. Один из элементов луча изображен отрезком PP¹ на рисунке.

Точки P и P¹, принадлежащие соответственно поверхностям S и S¹ и являющиеся началом и концом одного и того же элемента луча, называются сопряженными точками.

При помощи геометрического построения Гюйгенса можно найти последовательные положения S, S¹, S¹¹,.. . фронта распространяющейся волны и последовательные элементы PP¹, P¹P¹¹, P¹¹P¹¹¹,.. . любого луча. Каждый такой луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через бесконечно малые расстояния.

В случае отсутствия в среде эфирного ветра кажная из рассмотренных бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую сферу радиуса c₁t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где c₁ — локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды скорость света является заданной функцией с₁=с₁(x, y, z) точки среды и поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.

В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых, прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v· dt, где v — скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно равны c₁· dt, как в неподвижной среде, см. рис.

Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ, а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц пользуется одной из следующих гипотез.

• а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.
• б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.
• в) Если PQ=(1/n²)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой; здесь n — локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.

Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно прямолинейно вдоль некоторого направления с некоторой постоянной скоростью v.

Длина отрезка PQ теперь равнапричем направления отрезков PR и скорости v во всех точках P будут одинаковы.

Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по отношению скоростей v/c, где v — поступательно равномерного прямолинейного движения оптического прибора через неподвижный эфир, с — скорость света в пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от движения среды.

Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz, жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.

Обратмся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим ?P¹PQ между направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения среды — через ?, см. рис.

На рисунке полупрямая QP направлена вдель направления эфирного ветра. Согласно теореме косинусов, примененной к ?P¹PQ, имеем следующее соотношение. Отрезок P¹Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен c₁· dt, где c₁ — локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно тому же принципу, равен k· v·dt, где k=1/n², n — локальный показатель преломления в точке P, v — скорость эфирного ветра. Отрезок PP¹ равен с₁^дв· dt, где с₁^дв — локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в седующем виде:

или в виде квадратного уравнения из которого можно определить скорость с₁^дв. Решая это квадратное уравнение получимочевидно перед корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для скорости с₁^дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или, что-то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью света с и разлагая корень в ряд по малости v², имеемСледовательно, с точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную формулу. Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу, которая нам понадобится в дальнейшем: или справедливо с точностью ло членов порядка малости v³/c³₁.

Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с₁^дв распространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки, А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл представляющий собой время распространения света по лучу, должен принять минимальное значение. Здесь ds — длина элемента дуги кривой ALB.

Пренебрегая членами второго порядка малости v²/c²₁ в выше вриведенной формуле для 1/ с₁^дв, получаем следующую простую формулу для времени для любого мысленно воображаемого пути ALB:

Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость движения среды — постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды определяется формулой из которой сразу получаем с₁n=c, где с — скорость света в пустоте, — некоторая универсальная константа. Таки м образом, множитель имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения света по лучу ALB Легко видеть, что второй интеграл не зависит от формы пути ALB, так как он равем длине проекции прямолинейного отрезка АВ на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не зависит от скорости движения среды, так как с₁ — это линейная скорость света в неподвижной среде.

При отыскании минимума времени? для различных путей ALB, соединяющих фиксированные точки, А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB, можно поэтому игнорировать. А так как первый интергал не зависит от скорости движения нашей среды, т. е. оптического прибора, то мы видим, что форма пути истинного луча между точками, А и В в движущемся оптическом приборе будет в точности токой же, как и в покоящемся приборе.

Тем самым теорема Лоренца доказана.